拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种求解线性微分方程的简单计算方法，是分析和研究线性动态系统的有力数学工具。 简单来说，我们可以用它来求解线性微分方程，而控制工程中的大多数动态系统都可以用线性微分方程来描述，因此拉普拉斯变换是控制工程领域不可或缺的基础。

首先我们来看一下拉普拉斯变换的定义——

假设时间函数为f(t)，t>0，则f(t)的拉普拉斯变换定义为：

其中，f(t)称为原函数 , F( s) 称为图像函数。

函数进行拉普拉斯变换的充要条件是：

（1）当t<0时，f(t)=0；

(2) 在t≥0的任意有限区间内，f(t)是分段连续的；

(3) 当t→﹢∞时，f(t)的增长速度不 超过某个指数函数，即：

下面给大家介绍几种常用的时间常数拉普拉斯变换。 当你看下面几个时间常数的拉普拉斯变换时，可以把几个时间常数与这三个条件一一对应起来，有助于理解记忆。

1. 单位脉冲函数

单位脉冲函数的数学表达式为：

对应的图像为：

我们来看一个脉冲信号：

从图中可以看出脉冲函数就像一个脉冲信号。 在一个微段dt的时间内，信号强度快速增长，可以达到无穷大，单位冲激函数表示微段dt与增长高度的乘积为1，即h(dt)= 1.

拉普拉斯变换是：

这个函数有一个重要的性质：

f(t)是任意连续函数，当f(t)=e ^ (-st)，这个性质可以看作是单位冲激函数的拉普拉斯变换。

2. 单位阶跃函数

单位阶跃函数的数学表达式为：

函数图像为：

其拉普拉斯变换为：

3。 单位斜率函数

单位斜率函数的数学表达式为：

函数图像为：

其拉普拉斯变换为：

它的被积函数是幂函数和指数函数的乘积，用分部积分法求解（反对幂三指）。 请记住 t 的拉普拉斯变换是 1/s^2。

4. 单位加速度函数

单位加速度函数的数学表达式为：

函数图像为：

其拉格朗日变换为：

求解过程与单位斜率函数拉普拉斯变换的求解过程相同。 这里，只要记住1/2T^2的拉普拉斯变换是1/s^3即可。

5. 指数函数

指数函数的数学表达式为：

函数图像为：

拉普拉斯变换为：

求解过程是微分法。

6. 正弦函数

正弦函数的数学表达式为：

拉普拉斯变换为：

求解欧拉公式时首先使用将正弦函数变为指数函数 函数，然后进行微分。 欧拉公式为：

7. 余弦函数

余弦函数的数学表达式为：

拉普拉斯变换为：

8. 幂函数

幂函数的数学表达式为：

拉普拉斯变换为：

求解时采用代入法，设u=st。

将n=0,1,2带入单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位加速度函数的拉普拉斯变换公式。

以上就是本期的知识分享，希望对大家的学习有所帮助。

本文作者：知识之旅，机械知识网：分享知识，传播价值