导数和微分是微分学中的两个重要概念。 函数的各种行为的研究和函数值的计算或近似计算都离不开导数和微分。 导数和微分是解决这些问题的普遍有效的方法工具。

1. 瞬时速度

如果物体沿非匀速直线运动，其运动定律（函数）为 s = f(t)，其中 t 为时间，s 为距离。

现在我们来讨论它在时间t0的瞬时速度。

选择时间t0 △t在时间t0之前或之后，△t为时间的变化：

当△t > 0时，t0 △t在t0之后； 当△t < 0 时，t0 △t 在 t0 之前。

当 t = t0 时，令 s0 = f(t0)。

当t = t0 △t时，假设物体移动距离为s0 △s = f(t0 △t)，则

△s = f(t0 △t) – s0 = f(t0 △t)- f(t0)，

△s是物体在△t时间内移动的距离，是运动规律s = f(t ) 在时间 t0 。

已知物体在△t时刻的平均速度v△t（又称距离对时间的平均变化率）为

图（1）

当△t变化时，平均速度v△t也随之变化。

当‖△t‖很小时，理所当然地认为平均速度v△t是物体在t0时刻的“瞬时速度”的近似值，

当|△t|越小逼近越好。

因此，物体在t0时刻的瞬时速度v0（也称为t0时刻距离对时间的变化率）应该是当△t无限趋近于0时（△t≠0），

p>

平均速度v△t的极限，即

图（2）

瞬时速度的定义也给出了 瞬时速度的计算方法，即计算(1)式极限。

2. 切线斜率

求曲线上一点的切线方程的关键是求切线的斜率。

假设一条平面曲线（如图所示），其方程为y = f(x)。

求曲线上一点P(x0,y0)处切线的斜率（注：y0 = f(x0)）。

图(3)

在曲线上另选一点Q，设Q(x0△x,y0△y)，其中△x≠0，△y=f(x0 △x) – f(x0)。

根据平面解析几何，曲线y=f(x)( 即△y到△x的平均变化率)

图(4)

当△x变化时，即曲线上点Q变化时， 割线PQ的斜率k’也随之变化

当|△x| 近似值越小越好。

因此，当△x无限趋近于0时，即点Q沿曲线无限趋近点P时，割线PQ的极限位置为曲线过点P的切线，且 割线 PQ 曲线斜率 k’ 的极限 k 应为通过点 P 的切线的斜率（即 y = f(x) 在 x0 处的变化率），即

图(5)

所以，曲线y = f(x)上一点P(x0,y0)的切线方程为

y – f(x0) = k(x – x0)

切线斜率的定义也给出了计算切线斜率的方法，即计算(2)的极限。

3. 导数的概念

定义：设函数y = f(x)定义在U(x0)中，自变量x在x0中的变化量为△x，对应的量为 函数的变化是△y = f(x0 △x) – f(x0)。 若极限

图(5)

存在，则称函数f(x)在x0处可微（或有导数），此极限称为函数 f(x)在x0的导数（或微商），表格为

图（6）

或

图（7）

如果极限 (3 ) 不存在，则函数 f(x) 在 x0 处不可微分。

定理1.若函数y = f(x)在x0处可微，则函数y = f(x)在x0处连续。

定义：如果函数f(x)在区间I内的每一点都可导，则称函数f(x)在区间I内可导。

如果函数 f(x) 在区间 I 内可导，则对于任何 x∈I，（对应）只有一个导数 f'(x)。 根据函数定义，f'(x)是区间I的函数，称为函数f(x)在区间I的导函数，也简称导数，表为f'(x ), y’ 或 dy/dx。

4. 示例

求正弦函数 f(x) = sinx 在 x 处的导数。

解：f(x △x) = sin(x △x)

△y = f(x △x) – f(x) = sin(x △x) – sinx

示例图(1)

示例图(2)

是

示例图(3)

例图(4)

即正弦函数sinx在R中的任意x都可微分，故在定义R的域内可微分，且(sinx)’ = cosx .

同理，余弦函数cosx在域R中也是可微的，且(cosx)’ = – sinx。