导数是数学中非常重要的一部分。 高中的时候，高考的数学题经常和导数有关，而基本初等函数的求导是求解复杂初等函数求导的基石。 我们知道对于一个初等函数，其导数的定义是：
我们用这个定义来表示导数：
但是，当我们学习其他基本初等函数（指幂函数、三角函数）的导数时，数学课本突然省略了这个过程，而是直接给出了结论。 我们似乎也只是死记硬背这些结论，并没有真正理解其内涵。
这些推导规则都是编出来的吗？ 伪造的？ 不依赖于导数的定义？
当然不是！ 这篇文章的目的是弥补这个环节。
假设 的函数，和 的函数，当它改变时， ， 和 分别改变， 和 。 然后：
（1）加减法的推导规则为：
（向左滑动查看完整公式，下同）
（2）乘法的推导规则 是：
（3）除法的推导规则是：
（4）复合函数的推导规则是：
呃等等…你为什么要谈论这个？ 不是要讲基本初等函数的推导规则吗？
哈哈，有两个原因：
-
这些规则只使用导数的定义，并没有使用任何函数的导数结果
-
后面我们会看到，所有基本初等函数的推导都是借助这些规则加上少数函数的推导结果形成的。 而这几个函数的推导完全可以借助导数的定义来进行。
因此，我们的最终目的是要告诉大家，“从导数的定义出发，所有基本初等函数的导数都是从导数的定义得到的，而不是 下来吧！”
三角函数的推导：用几何说话
“小角逼近”, yyds
相信无论是参加过高中物理竞赛的朋友，还是大学学过高等数学的朋友，一定对下面这个近似非常熟悉：当时，.
这是为什么呢？ 我们还在求导，所以任何导数，泰勒展开等，都不能用。 那么如何解释这种关系呢？
没关系，代数不行，几何就来了！ 就用华罗庚先生提倡的数形结合吧！ 看下图：
图中圆弧AB是以O为圆心，半径为.的圆弧。 设O点的夹角为（弧度），则AB的弧长显然为 。 经B向OA作垂线BH，显然BH的长度为 。 过A点作OA的垂线（即圆弧的切线）与OB所在的直线相交于C点，显然AC的长度为 。 同时，AB的圆弧越来越小，圆弧AB与线段BH、线段AC越来越接近重合，所以它们的长度也应该越来越“一致”，从而 . 用更专业的术语来说，应该写成：
这两个相关的系统叫做small-angle approximations。 在本文中，利用前一种关系就足够了。
从正弦函数到所有三角函数
我们先求正弦函数的导数 ：
p>
因此：
借助正余弦导数，求正切函数的导数为：
至此 ，（高中阶段）三角函数推导完成。
指幂函数的推导：从常数e到推导规则
哪里是 神圣常数？
我们在高中数学一开始就学过它，是一个非常重要的科学常数。 它的值是一个无理数。 高中的时候，我们并没有对这个常量进行很深入的解释，只是简单的提了一下：
常量真的是这样定义的吗？
我们知道，极限的概念是高等数学的基础。 而我们在刚开始学习高数的时候，肯定接触过下面这个重要的数列：
学过高数的朋友一定知道，这个数列是有极限的。 还记得我们是如何证明的吗？
我们来复习一下：首先，根据二项式定理：
然后：
-
由于显然随着Increments增加，所以对于任意 给定，递增。 不仅如此，随着 的增加，参与求和的项目也越来越多。 因此，单调递增。
-
显然有
可以看出序列单调递增，有上界，所以其 极限必须存在。 常数的定义是数列的极限。 也就是说：
这里我用三个横杠代替等号来强调这是定义。
那么，我们在高中看到的阶乘表达式怎么了？ 它等同于上面的定义吗？
我们还是从下面的公式出发：
首先，所以
当然，使用的时候很容易证明它是一个有限值 它。 另一方面，对于任何给定的 ，当它足够大时，
是一个有限值，所以：
由此可以看出，
因此，这两种定义方式是等价的。
跟进！
刚才，我们证明了序列是.的忠实粉丝。 那么，还有什么应该靠近布景呢？ 太多了。 以下是一些对以下有用的：
(1) 设置，然后
(2) 设置，然后
(3) 设置，以及 . 然后
(4)设置。 到时候，让满足吧。 那么，根据
类似的方法，可以证明：假设 ，则
是 说了半天，就为了自然对数的推导
通过上面的讨论，想必大家对常数有了更深的理解。 现在，我们用自然对数函数导数的定义来推导：
令。 可见：
天啊！ 这就是我们得到它的方式！ 如果我们仔细回忆一下，“我们使用了这个属性。而这个属性的来源取决于定义公式：”。 （请注意，我再次使用了三个水平线）。 换句话说：
“我们之所以有这种关系，是因为我们是这样定义的！”
现在， 我们可以求出一般指数函数的导数~
根据函数的乘法和复合函数的求导规则：
(1)假设。 然后：
(2)设置。 然后：
其中，是一个变量替换。 当然，上面的公式在容易验证的时候也成立，所以可以说：假设。 但：。 尤其，。
(3) 如果 ，则：
如果 ，根据时间关系可以验证：总是成立。 【注意：最好不要同时为零，除非我们强行设置。 这不太对。 】
至此，意味着幂函数推导完成！ 至此，高中涉及到的基本初等函数全部推导完毕！ 这也说明，所有基本初等函数的导数都是根据求导规则得出的，而不是死记硬背的。
