作者：大神团·张彤

作者简介：张彤，新东方智慧学校讲师，北京大学力学系理论与应用力学学士学位。 初中三年获全国初中数学竞赛一等奖、全国初中物理竞赛一等奖、全国初中化学竞赛一等奖、全国初中化学竞赛一等奖 全国高中数学竞赛二等奖，全国中学物理竞赛二等奖，全国高中生物竞赛三等奖。

在“素数有无穷多个”的最后三个证明中，你更喜欢哪一个？ 文中我们说欧拉用调和级数证明了“素数有无穷多个”。

（系列是指用加号连接序列的各项的函数）

这种缩放方法获得了系列的 5/3 的上限。 由于5/3<7/4，说明在保留前一项相同的情况下，该方法得到的结果更准确。 我们称这种方法收敛速度更快。

但是无论使用哪种缩放方式，缩放步长确实都会增加每一项的值，所以这种方式无法得到准确的值。

需要一些高等数学知识才能获得精确值。 在历史上，欧拉是第一个给出精确值并加以证明的人。

欧拉巧妙地利用了正弦函数的幂级数，即：

（上面的公式这里不做证明，有很多方法，比如泰勒公式等，你 也可以想想如果用余弦函数可以证明什么）

既然我们已经把正弦函数写成了无限项的多项式，那么我们可以继续用因子定理来改写。

先复习一下因子定理。

证明完成后，观察公式可以得到一些启发。

例如，等式左边是有理数之和，右边却是无理数，这与常说的“有理数之和仍是有理数”矛盾。

原因是我们所说的四种算术运算的“封闭”都是针对有限项的。 对于涉及无限项的问题，很多常识性的算术定律都是无效的。

我们还可以通过变形得到一些变体，比如奇平方和倒数：

偶平方和倒数：

交错平方和：

（其中s为复数）

那么黎曼函数有什么用呢？

这个函数的主要用途还是在数论定理的证明上，在统计学、物理学、调谐等数学理论中也有应用。

本文给出了一个在数论中的应用实例。

这里我们必须遍历所有素数。

上式是由欧拉最先发现并证明的，所以又称为欧拉乘积公式。

在最后一部分，我将向您展示一些“违反直觉”的公式。

上面的公式显得极其“荒谬”，因为发散级数不可能是一个确定的数，但是在延拓的分析中（可以简单理解为强制定义域扩大，在某种意义上 即这种展开方式能保证结果唯一），公式成立。

数学家们认为这些结果与原来的级数有一定的内在联系，但还没有进行研究。

猜想一旦被证明，将证明一千多个命题，证明几十个猜想，整个数论体系的完整性将大大提高。

至于这些“荒唐”的公式是否有特殊意义，也许黎曼猜想被证明的那一天，一切都会水落石出。

作者简介：张彤，新东方智慧学校讲师，北京大学力学系理论与应用力学学士学位。 初中三年获全国初中数学竞赛一等奖、全国初中物理竞赛一等奖、全国初中化学竞赛一等奖、全国初中化学竞赛一等奖 全国高中数学竞赛二等奖，全国中学物理竞赛二等奖，全国高中生物竞赛三等奖。 新东方智慧学校（zhihuixuetang_xdf），结交精英，成就未来精英。