从激波函数的定义说起：

我们注意到激波函数的这些性质有一个前提，即时域是从负无穷大到正无穷大。

看冲激函数的频谱：

同理，冲激函数的频谱等于1，也是建立在时域从负无穷大到正无穷大的前提下 .

看看正弦和余弦函数的频谱：

图 1

我们可以看出，正余弦函数的频谱是在整个时域的前提下进行积分后的影响函数。 这就是为什么我们在频谱图上看到垂直线的原因，因为根据傅里叶级数分解的原理，函数可以分解为正弦波的和。

但在实际的频谱分析中，时域不可能无限大，例如：

在上面无限长的信号序列中，截取中间部分进行分析，这就是所谓的 此时会出现频谱泄漏，因为积分的时域变得有限，假设为[-T,T]，推导如下在余弦函数频谱推导的

部分 图一：

图二

我们看到结果其实是一个sinc函数：

我们知道当x趋于0时，极限 sinc函数为1，其图像如下：

图3

因此，图2的推导结果表明，当w趋近w0时，其值最大，但 当w0接近时，会逐渐增大，也就是说，图1中应该是震波序列的，变成了图3中的钟形函数，也就是说中频点w0的信号能量泄漏了 到它附近 f 频率。

举例说明：

f(t)=sin(2*pi*t) 0.8*sin(6*pi*t) 0.6*sin(8*pi * t)

我们可以看到每个正弦波在频谱图中都会产生一条垂直线，但是在1hz、3hz和4hz频率点附近确实存在频谱泄漏的现象。

总结如下：

1：正弦和余弦函数的傅里叶变换结果，也就是说在频谱图上，它们会以各自的频率产生一条竖线 点（冲击序列）。

2：频谱泄漏的原因是时域从理论上无限变为实际有限。