这个公式架起了复数和指数函数之间的桥梁，而复数可以用三角函数表示，所以这个公式也架起了三角函数和指数函数之间的桥梁。

这样，利用这个公式，很多三角函数问题都可以用指数函数求解。

有很多方法可以证明这个公式，比如麦克劳林级数。

那么，有没有通用的双角公式呢？ 也就是说

n是自然数的公式呢

？

确实有这么一个公式。 求一般双角公式的方法有很多种。 这里，欧拉公式用于降维攻击计划。

我们知道：

求两边n的次方

即

上面的右边 方程由牛顿二项式定理展开，得到

然后根据欧拉定理将上式左边展开，得到

根据复数等式的公式（实数 部分等于实部，虚部等于虚部），即可以发现

可以转化为：

即

即可以是

一变n次余弦函数的有理方程。

即

可以用正弦函数和余弦函数的二元n次多项式表示。

当n=2,3,4,5时，上式的系数

看起来不规则，不直观，非常难记。 那么有没有办法不用死记硬背直接写出上面的公式呢？

得从上式通过欧拉定理和牛顿二项式定理推导出来。 杨辉的三角数如下图红框所示：

比如第8行的数据是1,18,70,28,1，按照这个顺序可以写成 直接：

如第8行第13行的数据分别是1、78、715、1716、1287、286、13，按照这个顺序，可以直接写成：

同理，

相关的阳辉三角数下图蓝色方框：

如果第九行的数是9、84、126、36、1，写 直接相应：

• 总结

利用高等数学知识，可以降维解决初中级数学问题。 例如，本章内容利用欧拉定理和二项式定理，轻松解决高中三角函数任意多个公式的问题。

• 本文相关知识：欧拉定理，二项式定理。