欧拉公式是数学中最迷人的公式之一。 它连接了数学中最重要的常数：两个超越数：自然对数 pi 的底 e； 两个单位：虚数单位i和自然数单位1，数学中常见的0。

并且对数学领域的创立也产生了广泛的影响，三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论等等，都有她的影子。

因此，数学家评价它为“上帝创造的公式，我们只能看到它而不能完全理解它”。

而且，这个公式对物理学影响很大，机械波理论、电磁学、波动光学、量子力学等等都爬在她的脚下； 难怪物理学家查德·费曼惊呼：欧拉恒等式不仅是“数学中最奇妙的公式”，还是现代物理学的定量根，因为她将五个最基本的数学常数简洁地联系在一起，而且还将圆周运动和简谐结合在 物理。 振动、机械波、电磁波、概率波等环环相扣……

欧拉恒等式是：

其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是pi。

这个恒等式最早出现在1748年欧拉在洛桑出版的《导言》一书中，是欧拉公式在复分析中的一个特例。

对于任意实数x，则

将x=π代入上式，可得欧拉恒等式。

在欧拉公式中，虚数i占有特殊的位置。 要理解这个公式，需要从i说起：

大家在高中的时候都接触过虚数i，但那时候我们只知道它是-1的平方根， 但它的真正含义是什么？

这里是一条数轴，数轴上有一条红色的线段，它的长度是1，当它乘以3时，它的长度发生变化，变成 蓝色线段3，乘以-1就变成了绿色线段，也就是数轴上绕原点旋转180度的线段。

我们知道，乘以-1其实相当于乘以i两次，因为i×i=-1，使得线段旋转了180度，那么乘以一次呢？

答案很简单：旋转 90 度。

如果我们把这个操作放在坐标平面上来表示，那么实轴和虚轴就构成了一组对称的线段，然后我们在0处插入一个垂直于这条线段的轴，这样 在这个平面上，我们可以看出虚数i的作用是旋转。

对于欧拉公式

这个公式在数学领域的意义远大于傅里叶分析。 当x=π时，有

描述圆周运动的物理意义是圆心的位移为0，如下图所示：

该公式的关键作用是将正弦波统一为简单的指数形式。 我们看一下它在图像上的含义：

可以看出，欧拉公式描述的是一个在复平面上作圆周运动的点。 随着时间的变化，这个点在时间轴上变成了一条螺旋线。 如果只看它的实数部分，也就是螺旋在左边的投影是一个基本的余弦函数，而右边的投影是一个正弦函数。

现代物理学告诉我们，大宇宙的构成本质上是旋转的，既有圆周运动又有自旋； 微观世界也在旋转，有圆周运动和自旋，而欧拉公式描述的核心是旋转和频率。 因此，在物理学的数量意义上，称其为宇宙第一公式也不为过！