向量是数学、物理、工程力学等诸多领域中的一个重要概念。 简单理解一下，就是有方向的量，比如力F，速度v等，都要分解成向量。 特别是在工程力学领域，两个不同方向的量的性质可能根本不同。 例如下图：
这是一个用于曲杆内力分析的微分单元。
在这个微分单元的左侧，对于轴向力N，它的切向分力矢量N*sin θ/2，以及剪切力Q的分量向量Q*cosθ/2构成剪力的合力； 与剪切力Q相同，其轴向分力矢量Q*sinθ/2和分力矢量N*cosθ/2 的轴向力 N 构成轴向力的合力。
这个微分单元的右侧是左侧小增量的结果。 例如轴向力有轻微的增加dN，而dN=q(s)*rdθ，其中rdθ代替微- 弯杆的弧长dl。 对于dN，仍然需要矢量分割，dN*sin θ/2包含在剪力中，dN*cos θ/2是 包括轴向力。 求积的最终微分一定有这样的东西：r*sin θ/2*dθ 或者r*cos θ/2*dθ。
从某种意义上说，微积分本身就是应曲线研究而诞生的。 曲线微增量dl无法取值，只能转化为dl=rdθ，再转化为X轴和Y轴分量向量r *cosθ *dθ 和 r*sinθ*dθ。 这使得我们在使用微分积求解问题时，很可能会遇到求导数或求积分的三角函数。
可以说三角函数是微积分中最重要的基本函数，在十六个简单导数中占了十个之多。
既然清楚了三角函数的重要性，那我们就来仔细看看这十个简单导数的推导过程吧。
1. 正弦函数y=sin x;
(sin x)’=lim(h→0)[sin(x h)-sin x]/h
=lim(h→0 )[2cos (x h/2)*sin h/2]/h
=lim(h→0)cos (x h/2)*lim(h→ 0)[sin h/2/( h/2)]
=cos x
2,余弦函数y=cos x;
(cos x )’=lim(h→0) [cos(x h)-cos x]/h
=lim(h→0)[-2sin (x h/2)*sin h/2]/h
=lim (h→0)[-sin (x h/2)]*lim(h→0)[sin h/2/(h/2)]
= -sin x
3、正切函数y=tg x;
(tg x)’=(sin x/cos x)’
=[(sin x)’*cos x-sin x*(cos x)’]/cos^2 x
=(cos^2 x sin^2 x)/cos^2 x
=1/cos^2 x
=sec^2 x
4、余切函数y=ctg x;
(ctg x)’ =(cos x/sin x)’
=[(cos x)’*sin x-cos x*(sin x)’]/sin^2 x
=- (sin^2 x cos^2 x) /sin^2 x
=-1/sin^2 x
=-csc^2 x
5.正割函数y=sec x;
(sec x)’=1/cos x
=[(1)’*cos x-1*(cos x) ‘]/cos^2 x
=sin x/cos^2 x
=sec x*tg x
6. 余割函数 y=csc x;
(csc x)’=1/sin x
=[(1)’*sin x-1*(sin x)’]/ sin^2 x
=-cos x/sin^2 x
=-csc x*ctg x
7. 反正弦函数y=arc sin x;
因为y=arc sin x是x=sin y的反函数，所以有，(arc sin x)’=1/(sin y)’ =1/余弦。 接下来，我们将余弦 cos y 转换为 sine sin y，然后进一步转换为 x。
因为，cos y=√(1-sin^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)’=1/√(1-x^ 2).
8. 反余弦函数y=arc cos x;
因为y=arc cos x是x=cos y的反函数，所以有，(arc cos x)’= 1/(cos y)’ =-1/罪恶。 接下来，我们将 sin y 转换为 cosine cos y 并进一步转换为 x。
因为，sin y=√(1-cos^2 y)=√(1-x^2)，所以有，(arc sin x)’=-1/√(1-x ^ 2).
9. 反正切函数y=arc tg x;
因为y=arc tg x是x=tg y的反函数，所以有，(arc tg x)’= 1/(tg y)’ =1/秒^2 年。 接下来，我们将 sec y 转换为余弦 tg y 并进一步转换为 x。
因为，sec^2 y=1 tg^2 y，所以有，(arc tg x)’=1/√(1 x^2)。
10. 反余切函数y=arc ctg x;
因为y=arc ctg x是x=ctg y的反函数，所以有，(arc ctg x)’=1/(ctg y)’ =-1/cec^2 y。 接下来，我们将 cec y 转换为余弦 ctg y 并进一步转换为 x。
因为，cec^2 y=1 ctg^2 y，所以有，(arc ctg x)’=-1/(1 x^2)。
有了这十个三角函数的导数作为基础，你再也不用为曲线分析发愁了。
