高一数学——函数的周期性（补函数的本质）

如果存在一个非零常数T使得当X在定义域中取任意值时，f(X·T)=f(x)，则该函数 y=f(X) 称为周期函数。

如果在周期函数的所有周期中都有一个最小的正数，那么这个最小的正数称为f(X)的最小正周期。

共同的结论：

①如果T是函数y=f(X)的周期，则KT(K∈Z,且K≠0)也是y=f(X)的周期。即f(Ⅹ kT)=f(X);

②若f(X a)=f(x),则T=2a;

如果f(X a)=1/f(X)，则T=2a

常见错误：

①认为只有三角函数是周期函数。其实只是三角函数的周期性比较明显而已。

②认为周期函数有最小正周期。有些周期函数有最小正周期，有些周期函数没有。例如f(x)=1，满足f(X T)=f(x)=1，是周期函数，但没有最小正周期。

问题一：已知循环，求值。

已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<X<1时，f(X)=4^×，则f(-5/ 2 ) f(1)=()

【思想探索】：f(one 5/2)=f(one 5/2 2)=f(one 1/2)=one f(1 / 2)=one 4^(1/2)=one 2;

f(X)为奇函数，∴f(one 1)=one f(1), f(one 1) =f(one 1 2)=f(1), ∴ f(1)=one f(one 1), 所以f(1)=0。

同步跟踪：

1. 已知函数f(x)是周期为2的奇函数。当X∈(0,1),

f(X)=lg(X 1)时，则f(2019/5 )|g12=()

2，X为实数，[X]表示不超过X的最大整数，则R上的函数f(X)=X-[X]为()

A、奇函数 B、偶函数 C、递增函数 D、周期函数

类型2：先求周期，利用周期性和单调性做函数的图像，然后求值。

R函数f(x)上的奇数定义满足f(X-4)=-f(X)，并且是[0,2]上的增函数。如果方程f (X)=m(m>0)在区间[-8, 8]中有四个不同的根X1,X2,X3,X4，则X1 X2 X3 X4的值为()。

【思路搜索】：条件f(X-4)=f(X)用来判断周期性 f(X 4)=one f(X), f(X 8)=f(X 4 4)=one f(X 4)=f(X), ∴ f(x) 是一个周期为8的周期函数。而f(x-4)=f(x)=f(one X), ∴ f(x )关于X=-2对称，作函数的像，

从中点fo 公式，我们知道X1 X2=-6×2=-12，X3 X4=2X2=4，∴X1 X2 X3 X4=-8。

【同步跟踪】：设f(x)为奇数 function on (one ∞, ∞), f(x 2)=one f(x), 当0≤X≤1时，f(X)=X。

（1）求f的值 (元);

(2)当-4≤X≤4时，求f(x)的图像与X轴所围成的图形的面积。

p>我是数学山，欢迎关注！！！谢谢你的评论！！！

函数公式网