函数是所有高中数学的基础。 我们在研究函数时，通常会研究函数的域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、像等。 高一、二阶段对函数性质的研究主要是“单手”式的，基本不涉及两个性质之间的内在联系。 高三，要求相对更高，必须考虑两个或多个属性之间的内在联系。 函数的对称性和周期性，这两个性质有很多内在联系，常常成为各种测试的热门考点。 今天，我就带大家看看对称性、周期性“复合”后的奇妙结果。

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函数对称性和周期性的定义

对称性有两种：轴对称和中心对称，

若函数f(x)关于直线x=a对称，则f(a·x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)；

若 函数f(x)关于点(a,b)的中心对称，则f(a x) f(a-x)=2b或f(x) f(2a-x)=2b;

如果函数 f(x) 的周期为 T (T>0)，则 f(x)=f(x T)。

如果一个函数f(x)满足f(a x)=f(b x)，那么函数f(x)有一个周期T=|a-b|。

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周期性和对称性的内在关系

对于常数函数来说，它是一个周期函数，有无数个对称中心和对称轴。 那么很自然地我们有以下问题：

问题1：如果一个函数f(x)关于直线x=a和关于直线x=b对称，那么函数f(x)将有什么 什么样的性质？

问题2：如果一个函数f(x)关于点(a,b)的中心和关于点(c,d)的中心对称，那么函数f( x) 有毛布吗？

问题3：函数f(x)关于直线x=a对称，同时关于点(c,d)的中心对称，函数f(x ） 有？

问题4：函数f(x)有一个周期T和一个周期S，那么函数f(x)有什么性质呢？

针对上述问题的答案，我们先给出结果：

结论1：f(x)有一个周期T，且T=2|a-b|。

结论2：若b=d，则f(x)有周期T，且T=2|a-c|。 如果 b 不同于 d，则 f(x) 没有周期。

结论3：若b=d，则f(x)有周期T，且T=4|a-c|。

结论4：函数f(x)有一个周期R，如果S和T都是整数，则R=(S,T)，即S和T的最大公约数。

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结论的证明和变体

结论1证明：因为f(2b-x)=f(x ) =f(2a-x)，所以周期为 2|a-b|。

结论2证明：因为f(x) f(2a-x)=2b, f(x) f(2c-x)=2d,

如果b=d, 则f(2a-x)=f(2c-x)，结论成立。

如果b与d不同，则f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d，

设2a-x=t，2a-2c = p, 2b-2d=q, 则f(t)-f(t-p)=q,

即不存在周期性。

结论3证明：因为f(x)=f(2a-x), f(x) f(2c-x)=2d,

则f(2a-x ) f(2c-x)=2d, 设 2a-x=t, 2a-2c=p,

那么 f(t) f(t-p)=2d, 所以 f(t-p) f(t -2p)=2d，即f(t)=f(t-2p)，

所以周期为4|a-c|。

结论4证明可以通过滚动和划分得到。

从上面的证明过程，我们还会得到另外两个结论（证明略）：

结论5：若函数f(x)的周期为2|a-b| 如果它关于直线 x=a 对称，则函数 f(x) 关于直线 x=b 对称。

结论6：若函数f(x)的周期为2|a-c| 函数f(x)关于点(a,b)的中心对称，则函数f(x)关于点(c,b)的中心对称。

一般我们通常会考虑对称中心在x轴上的情况。 这样就关系到函数的奇偶校验问题了。 例如：奇函数f(x)关于直线x=a对称，周期为4|a|。

另外，带周期的奇函数还有一个很重要的性质：

如果定义在R上的奇函数f(x)的周期为2T，则f(T ) = 0。

证明：f(T)=0 因为 f(T)=f(-T)=-f(T)。

即奇函数在半个周期的位置函数值为0，相当于f(0)=0，这是奇函数的一个很重要的性质。

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简单应用

证明：由于f(2-x)=f(2 x)，则f( x) 关于直线 x=2 对称。 同理，f(x)关于直线x=7对称，函数以10为周期。 因此，只需要证明在[0,10)上至少有2个根即可。 因为f(0)=0，且关于直线x=2对称，所以f(4)=0，命题得证。

如果上面的函数是奇函数，问题就会变得比较麻烦。 首先，奇函数关于原点和直线 x=2 对称，所以它的周期为 8。同样，该函数也关于直线 x=7 对称，所以它的周期为 28，加上周期 10，所以函数的周期为 2。所以 [0,10) 上有 5 个零。 由于奇函数的性质，半周期位置函数的值也为0，所以有5个零点，一共10个零点，所以方程f(x)=0至少有61个 根于 [-30,30] 。

当然也可以改成偶函数，读者自行解决。

注：本文由爱吃菠萝蜜贡献。