例1.已知函数满足

，问：是周期函数吗？ 它的图像是轴对称图形吗？ 例2.已知函数满足

, 问：是周期函数吗？ 它的图像是轴对称图形吗？

这两个问题的已知条件形似而质不同。 有的同学经常把他们搞糊涂，得出错误的结论。 为了准确回答上述问题，必须掌握以下基本定理。

定理1：若函数满足

，则 的像关于直线对称。 证明：设定点

是图像上的任意一点，P点关于直线的对称点是Q，易知Q点的坐标是

。 因为点在 的图像上，所以

所以

所以点

也在 的图像上。

从P点的任意性来看，直线的图像是关于直线对称的。

定理2：若函数满足

，则 的像关于直线对称

。

证明：（略）（证明同定理1）

定理3：若函数满足

，则为周期函数 以 2a 为周期。 证明：令

，然后

将已知条件代入

可得：

根据周期函数的定义，有 是

p>

是周期的周期函数。 定理4：如果函数满足

，则它是以

为周期的周期函数。

证明：（略）（证明同定理3）

由上述定理可知，在已知条件or下，两个自变量在 等式两端相加得到常量，如

，表示图像具有对称性，其对称轴为 . 等式两端减去两个自变量得到的常数，如

，表示它是一个周期函数，它的周期

。

易证：定理1、2、3、4的逆命题也成立。

牢牢掌握以上规则，那么例1和例2就可以轻松解决了。

在示例1中，

，生成的图像关于一条线对称

。 从这个已知的条件，我们不能判断它是一个周期函数。 因此，在示例 2 中，

是具有周期的周期函数

。 从这个已知的条件，我们不能判断它是一个轴对称图形。 例 3. 如果函数

对任意实数 t 有

，则 A.

B.

C.

D.

分析：在

所以抛物线的对称轴为

如图1所示，可以看出 应该选A。

图1

例4.假设是R上定义的奇函数，给出如下四个结论：

①

;

②是周期为4的函数;

③的图像关于直线对称;

④

其中所有正确命题的序号是__________。

分析1：（1）因为

是奇函数，所以

令

，得到

So

亦可知

序求得

So

So ①成立。

（2）因为，所以

从

（两个自变量相减得到一个常数）

所以是一个 4周期函数的周期。

因此，②成立。

(3) 由：

（两个自变量相加为常数）所以图像关于直线对称

。 而不是关于一条线对称。

所以③是错误的。

(4) 由(2)可知，应满足

且

so

so ④成立。

综上所述，①②④要填写。

解析2：根据题目条件，构建函数的图像如图2所示。

图2

可以是 由图可知①②④正确，③错误。

例5.函数的图形

关于一条直线对称，则

___________。

分析：因为函数的像关于直线对称

所以有

（定理1的逆定理）

（问题设置矛盾，四舍五入）或

所以。

例6.假设它是R上的一个奇函数，它的像关于一条直线对称。 函数是周期函数吗？ 如果是，请找到它的一个时期。

解：因为 的像关于直线对称

由定理1的逆定理：

将上式换成

x, get:

用

代替x, get:

用

代替x, get:

用

代替x, get:

p>

也是奇函数，即

从：

即

根据定义 周期函数的，它是Periodic function，

是它的一个周期。

–结束–