函数，大家都很熟悉了，可以说是中学数学学习阶段最重要最核心的内容之一。 一个人要想学好数学，想在高中数学中拿到高分，那么就必须学好函数，掌握函数的所有知识。 因此，可以毫不夸张地说，函数是整个中学数学的基础。
函数的知识内容之所以成为中考数学的重点和热点，是因为函数相关的题型可以千变万化，可以考查大家的 运用知识解决问题的能力，考查每个人的数理逻辑能力，考查每个人在解决数学问题过程中的思维能力等。
因此，今天我们要讲的是函数的一个很重要的性质，就是函数的周期性。 函数的周期性是函数的一个基本性质，它不仅经常出现在数学函数问题中，而且如果我们利用函数的周期性来解决问题，往往可以更容易地解决复杂的问题。
什么是函数的周期性？
从语言的角度来看，“periodically”这个短语的意思是有规律地重复出现。
因此，对于任何实数（自变量是有意义的），当我们的自变量增加或减少时，函数值有规律地重复，我们称之为周期性。
用具体的数学语言来说就是：如果T是一个非零常数，对于定义域中的任意x，f(x)=f(x T)总是成立，则称f(x) 一个周期函数，T 称为这个函数的一个循环。
如果函数f(x)=f(x T)（或f(x a)=f(x-b)（其中a b=T），则T是函数的一个循环，整数倍 T的也是一个函数的循环。
典型例1：
关于y=f(x)，给出如下五个命题：
①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)为周期函数；
②若f(1-x)=-f(1+x) ,则y=f(x)为奇函数；
③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称,则y=f(x)为偶函数 function;
④函数y=f(1+x)和函数y=f(1-x)的像关于直线x=1对称;
⑤若f( 1-x)=f(1+x)，则y= f(x)的图形关于点(1,0)对称。
填入所有正确命题的序号________。
解析：f(-1+x)=f(1+x)，可见函数周期为2，①正确；
由f(1 -x)=-f(1+x)，可见y=f(x)的对称中心为(1,0)，②错误；
Y=f(x－1 )向左平移1个单位得到y=f(x)，所以y=f(x)关于y轴对称，③正确；
当两个函数对称时，令1+x =1-x得到x=0，所以应该关于y轴对称，④错误；
由f(1-x)=f(1+x) y = f(x) 关于x = 1对称，⑤错误。
所以正确答案应该是①③。
答案：①③
请记住一个概念是最小的 正周期。
对于一个函数f(x)，如果在它的所有周期中都有一个最小的正数，那么这个最小的正数称为f(x)周期的最小正数。
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简单的说：在函数图上，最小正循环就是函数图重复需要的最短距离。
比如对于正弦函数y=sinx，参数Only 当x增加到至少x 2π时，可以重复得到函数值。 所以正弦函数和余弦函数的最小正周期为2π。
值得注意的是：以后如无特别说明，均指最小正周期。
周期函数属性：
1. 如果T(≠0)是f(X)的周期，那么-T也是f(X)的周期。
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2. 如果T(≠0)是f(X)的周期，则nT(n是任意非零整数)也是f(X)的周期。
3. 若T1、T2、T2均为f(X)周期，则T1±T2也为f(X)周期。
4. 如果f(X)有最小的正周期T*，则f(X)的任意正周期T一定是T*的正整数倍。
5。 T*是f(X)的最小正周期，T1和T2是f(X)的两个周期，则(Q是一组有理数)
6。 如果T1 和T2 是f(X) 的两个周期并且是无理数，则f(X) 没有最小正周期。
7. 周期函数 f(X) 的定义域 M 必须是两边的无界集。
重要推论：
1. 如果f(x)有两个对称轴x=a和x=b，则T=2|a-b|
2，如果有两个对称中心(a,0)(b,0 )的f(X)，则T=2|a-b|
3，若f(x)中有一个对称轴x=a，和1个对称中心(b,0)，则T =4|a-b|
同时，在众多数学问题中，周期性问题往往与函数的奇偶性联系在一起。 在周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调整符号的作用。 因此，要想更好地解决周期性问题，还必须对函数奇偶性的性质有深刻的理解，比如奇函数和偶函数的性质：
1. 定义域是关于原点对称的，这是函数具有奇偶性的必要和不充分条件；
2． 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称； 反之亦然；
3. 如果奇函数f(x)定义为x=0，则f(0)=0；
4。 可知奇函数的图像关于原点对称，奇函数在原点两侧对称区间上的单调性相同； 偶函数的图像关于y轴对称，原点两侧对称区间上偶函数的单调性相反。
典型例子2：
大家一定要记住，利用函数的周期性是求解周期函数问题的基本方法。 解决这类问题，要注意周期函数的定义，紧扣函数的形象特征，找出函数的周期，从而解决问题。
在研究函数周期性的过程中，我们发现函数的周期性也充分体现了数学之美。 学习函数的时候，不要想得太枯燥，学会从抽象的背后发现数学的美，发现内在的数学思维，最终提高自己的数学素养。
