1。 探索性问题
是指数学问题可以在实验、猜想和合理推理的基础上进行探索和研究，并得到证实； 能够在新情况下正确表达数量关系，并能在创造性思维的基础上，对相对简单的问题得出一些新颖的结果。
例1 已知角α、β、
是锐角，
，尝试求出
的值。
解法：这类求关系式取值问题的一般解题策略是，先确定要求的关系式的一个值，然后猜测要求的关系式的值 ，然后证明。
首先设α，β，都为
，
=1，所以猜测
的值为1 .证明猜想的结论：
证明：left =
二、开放题
例2.设一个函数
, 对于偶函数，t 的一个可能值是 __________。
解一：已知
因为是偶函数
所以
所以
常数成立
所以
解2：由f(x)平移得到，为偶函数，故可设
与
，所以t可以是
例3已知函数
，试写它的一个属性__________。
解析：中学数学讨论的函数性质包括函数的定义域、取值范围（包括最大值和最小值）、单调性、奇偶性、周期性等。 函数是由两个非常常用的函数y=sinx和y=cosx组成的，函数f(x)的图像可以通过将这两个函数的图像绘制在同一个坐标系中得到，性质 可以根据图像讨论功能。
解：根据函数图（图略），可以得出如下结论：
（1）该函数的定义域为R；
(2) 该函数的取值范围为
；
(3) 该函数是以2π为最小正周期的周期函数；
(4) 当且仅当x=2kπ且x=
时，函数获得最大值1；
(5) 当且仅当
，函数获得最小值
；
(6) 是增函数 在
上，在
上是减函数，在
上是减函数
上是增函数，而
是减函数 功能。
您只需回答以上属性之一即可。
三、判断真伪的问题
例4 用下面的方法判断函数的奇偶性是否正确
因为
是奇函数，所以f(x)是奇函数。
解：这个答案是错误的。 由于化简过程中分子和分母的公因子被化简
，
由于域不同不是同一个函数，所以化简后的函数不能直接用于计算 预约化函数的奇偶校验，本例正确答案为：
阶
，得到一个特解的函数值
。
因为
，
是没有意义的。
所以函数 f(x) 的定义域关于原点不对称。
因此函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
四、模仿答题
例5读解 下面的例子：实数x,y满足
,
+
的取值。
解：设
，化简后：
解
因为
所以
p>所以
p>
因为
所以
尝试上面的解来解决下面的问题：
找到
的最大值。
解：因为
设
So
So当
时，M有最大值
p>
5. 用方程思维解题
例6已知
。
解析：
，与同角三角比的关系式
同时组成一元二次方程得到
, 所以
对于一元二次方程的两个解，则求
。
解：因为
所以
因为
所以
是一个二次方程
两种解决方案。
，
，所以
。
例7 给定
α为第三象限角，求sinα和cosα。
解：
因为α是第三象限角
所以
由此我们可以得到
,
So
两种解法
So
6. 追溯条件问题
例8 请写一个关于α的方程并证明它使得方程
在你给出的方程中当α=20°和α=15°时是这样的 .
分析：请注意，这两个方程中的三角比运算方式相同，每个方程中的两个角之间的差为 30°。 基于这些特性，关于 α 和 α+30° 角满足方程式。
解： 命题：
证明： Left =
说明： 总结一系列数学方程的共同性质，从而猜想并证明它们 具有一般意义的数学结论使原来的结论成为特例，这种从特殊到一般的概括是数学研究中常用的方法之一。
7. 数学建模相关问题
例9 如图1所示，某园林单位拟绿化一块直径为BC的半圆形空地，在△ABC外种草。 △ABC的内接方形PQRS是一个水池，其余地方都种上了花草。 若BC=α，∠ABC=θ，设 △ABC的面积为S1，正方形的面积为S2。
(1)用a,θ分别表示S1和S2；
(2)当a固定 , θ 变化时，求
取最小值时的θ值。
图1
解：（1）因为BC=a，∠ABC=θ
所以AB=acosθ，AC=asinθ，
所以
因为
所以
所以
(2)
所以
有一个最小值，最小值为
8。 物理应用题
例10 已知电流I与时间t的关系为：
(1) 图2是
中的图像 cycle, P(
,0), Q(
,0), 根据图中数据求
的解析式；
(2) 如果t在任意
秒的周期内，则当前
p>可以获得最大值和最小值，那么什么是 ω 的最小正整数值。
图2
解：（1）
（2）因为
。
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