我们知道奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。 从这个意义上说，宇称可以看作是对称性的一个特例。 另外，通过与周期性的结合，会呈现出更多的对称性（包括对称轴和对称中心）。 下面分析以下常见类型。
一、双对称
如果f(x)的图形有两个对称模式，它一定是一个周期函数。 我们有以下结论：
(1) 若f(x)关于x=a对称，且关于x=b也对称(a≠b)，则f(x) 是一个循环函数，周期为2|a-b|;
(2) 若f(x)关于点(a,0)对称，也关于点(b,0)对称(a≠b)，则f(x)为周期函数，周期为2 |a-b |;
(3) 若f(x)关于点(a,0)和关于直线x=b(a≠b)对称，则f(x)是a 周期为 4|a-b| 的周期函数。
此外，对称性本身有以下结论，应牢记：
(1) 若f(x)关于直线x=a对称，则f(x )=f(2a-x) 或 f(x a)=f(a-x) 成立；
(2) 若f(x)关于点(a,0)对称，则f(x )=-f(2a-x) 或 f(x a)=-f(a-x) 成立。
解法： (1)解法一：f(x)的像关于直线x=-1和直线x=2对称，故f(x)是周期函数，且 周期为6，则f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10。
解法二：根据f(x)的图像，直线 x=-1与直线x=2对称，f(-1 x)=f(-1-x)，f(2 x)=f(2-x)，则f(x)=f(- 2-x)=f(6 x) ，所以f(x)是周期为6的周期函数，f(15)=f(15-6×2)=f(3)=10。
(2) 解法一：f(x的像)关于点(-1, 0)和(2, 0)对称，所以f(x)是周期为6的周期函数， 则f(15)=f(15-6×2)= f(3)=10。
解法二：根据图像关于点(-1, 0)和( 2, 0), 得f(x)=-f(-2-x) ,f(x)=-f(4-x), 则f(-x)=-f(x-2), f( -x)=-f(x 4)，即f(x-2)= f(x 4)，f(x)的周期为6，所以f(15)=f(15-6×2)= f(3)=10.
(3) 解一：f(x)的图像关于点(-1, 0)和直线x=2对称，所以f(x) 是周期函数 周期为12，则f(15)=f(3)=10。
解法二：函数y=f(x) (x∈R)的图像关于点对称 (-1, 0) 和直线 x=2，则 f(x)=-f(-2 -x)，f(2 x)=f(2-x)，然后 f(-x)=-f (x-2), f(-x)=f(4 x), 所以f(x-2 ) f(x 4)=0，根据知识点1.2，f(x)是周期函数，周期为 为 12，则 f(15)=f(3)=10。
总结：函数是关于如果两条直线对称，或者关于 x 轴上的两点对称，则周期为 对称线的横坐标或对称中心之间的差值的两倍； 若函数关于x轴上的一条直线和一点对称，则周期为对称直线与对称中心横坐标之差的四倍。
另外，对称和圈的表达形式很接近，记忆时容易混淆。 以下推导可以帮助记忆：
例2.令函数f(x)满足f(2 x)=f(2-x)对于任意实数x,f(7 x)=f (7- x)且f(x)=0，判断函数f(x)的图像至少在[-30,30]区间与x轴有多少个交点。
解：由题可知函数f(x)的图像关于直线x=2和x=7对称，由函数的性质可知，f(x )是一个周期为10的函数。在周期区间[0,10)上，f(x)=0, f(4)=f(2·2)=f(2-2)=f(0)= 0 和 f(x) 不可能始终为零，因此 f(x) 图像至少与 x 轴有两个交点。 区间[-30,30]有6个圈，所以f(x)图像与x轴在闭区间[-30,30]上至少有13个交点。
二、奇偶函数的另一个对称轴（或称对称中心）
如果R上定义的函数是奇函数或偶函数，又存在另一个对称轴 或对称中心，则这类双对称函数一定是周期函数，并有如下规律：
解： (1) f(x)的像关于直线x对称 =0 与直线 x=2 ，可得f(x)为偶函数，f(x)为周期函数，周期为2×2=4，则f(17)=f (17-4×3)=f(5)=26。
(2) f(x)的图像关于原点和(2, 0)对称，所以f(x)是奇函数，f(x)是周期函数，a 2×2=4的周期，则f(17)=f(17-4×3)=f(5)=26。
(3) f(x)的图像是关于 原点与直线x=1对称，可得f(x)为奇函数，f(x)为周期函数，周期为4×1=4，则f(15)=f (15-4×3)=f(3)=- f(-3)=-f(5)=-26.
(4) 函数y=f(x)的图像 (x∈R)关于直线x=0与点(1, 0)对称，f(x)为偶函数，f(x)为周期函数，周期为4，则f( 15)=f(15-4×3)=f(3)=f(- 3)=f(5)=26。
3. 平移对称性
(1) 若f(x a)为偶函数，则f(x)的像关于直线x=a对称；
(2 ) 如果 f(x a) 是奇函数，则 f(x) 的像关于点 (a, 0) 对称
例 4. f 的定义域 (x) 是 R，如果 f(x+1) 和 f(x－1) 是奇函数 ( )
A. f(x) 是偶函数 B。f(x) 是奇函数 C。f(x)＝f (x＋2) D. f( x＋3)是一个奇函数
解：∵f(x 1)是一个奇函数，所以它有一个对称的 中心（1,0）； 出于同样的原因 f(x >-1) 是一个奇函数并且很容易知道 f(x) 有一个对称中心 (-1,0)。
由双对称性推导出，f(x)是周期函数，周期T=2 |1 1 |=4。
下面我们来分析几个选项。
如果f(x)是偶函数，那么根据第二点的结论，周期为T=4|1-0|=4，满足 条件。
如果f(x)是奇函数，那么根据第二点的结论，周期T=2|1-0|=2，那么4就是 还有f(x) 的一个周期，满足条件；
因此，f(x)可能是奇函数，也可能是偶函数，排除A和B； 若f(x)为偶函数，周期为4，则C不正确。
既然已经得到f(x)的周期为4，那么f(x 3)=f(x-1), 是奇函数，所以D一定是正确的。
总结：这道题是一道高考题。 其实更容易得到D作为正确答案，但是排除A、B、C会稍微麻烦一点。其实f(x a)是一个偶函数，相当于移动图像 f(x)左移一个单位得到偶函数，所以x=a一定是f(x)的对称轴； f(x a) 与奇函数相同。
