一道高中题——关于周期函数的题

对于所有的实数，有一些函数f满足f(x 4) f(x-4)=f(x)，并且 这样的函数是一个周期函数，并且有一个最小公共正周期p，求这个p的值。

解：

关于周期函数有一个概念：对于所有x，如果p是函数f的基本周期，则当且仅当p是最小的正整数，满足f(x )=f(xp).

在这个例子中，我们知道f(x 4) f(x-4)=f(x)，将x 4 代入x得到递归下一个方程f(x 8) f(x)=f( x 4)，将这两个方程相加我们得到：

f(x 8) f(x-4)=0。

然后将x 4 再次代入上式代入x，得到：

f(x 12) f(x)=0，得到：

f( x)=-f(x 12)

然后把x换成x 12，就有：

f(x 12)=-f(x 24)，把这个放到 上式：

f(x)=f(x 24)

所以p=24就是求的最小正周期。

函数的周期性是函数的一个重要性质，是高中数学的内容，也是高考的内容之一。 尤其是周期性与对称性、奇偶曲线相结合的综合题，在高考中出现的机会更多。 因此，高中生要掌握函数的周期律和周期的解法。