俗话说：种瓜得瓜，种豆得豆。 这正是自然界的遗传现象。 然而，亲生父母和后代之间的特征相似性在数学上并不普遍。 例如，“一个周期函数加上一个周期函数不一定是周期函数”这个命题就很好地说明了这一点。

假设f(x)是周期为T的周期函数，则f(x)的导函数

f′(x)=cosx πcos(πx)

也是一个周期为T的周期函数，此时有

cos0 πcos(π.0)=cosT πcos(π.T),

对比系数只能有：

cosT=1, cos(π.T)=1,

则T=2k1π, π.T=2k2π,

其中k1,k2为非零整数 . 此时π=k2/k1是有理数，矛盾。 所以 f(x) 不是周期函数。

假设f(x)为周期函数，周期为T，令f(m)=f(m T)，分别设m=0,1， 2、

可得：

sinT sin(πT)=0,

sin(T 1)−sin(πT)=sin1,

sin(T 2) sin(πT)=sin2,

第一个公式加上第二个公式，第三个公式减去得到：

sin(T 1) sinT=sin1,

sin(T 2)−sinT=sin2,

和差积，可以得到：

有：T=2k1π，或T=π−1 2k1π； T=2k2π, 或 T=−2 2k2π

其中 k1, k2∈Z。 这样，得到T=2kπ，k∈Z。 代入sinT sin(πT)=0，

sin(2kπ2)=0，则2kπ2=nπ

其中n∈Z。 也就是说，π=n/2k 与 π 是无理数相矛盾，因此 f(x) 不是周期函数。

假设f(x)是周期为T的周期函数，对于f(x)的零点，令f(x)=0，

可以得到：x=−π.x 2kπ，或x=π π.x 2kπ

则有：x=2kπ/(1π)，或x=(2k 1)π/ (1-π)

其中k∈Z，由于f(T)=f(0)=0

有T=2nπ/(1 π)或T=( 2n 1)π/(1-π)，其中 n 为 ∈Z。

也许取x1=2π/(1 π), x2=π/(1-π)

如果T=2nπ/(1 π),那么x2 T=π/ (1-π) 2nπ/(1 π), n≠0,

必然不在函数f(x)的零点集中；

同理：如果T= (2n 1)π/(1-π), 那么x1 T=2π/(1 π) (2n 1)π/(1-π),

一定不在函数f(x ) 在零集合中。 综上所述：原命题得证。

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所以今天就分享到这里，祝同学们高考金榜题名。

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