#头条创作挑战赛#

计算不定积分时，采用不同的方法，可以得到原函数的不同形式。 然而，这些不同形式的原始函数可以转化为相同的形式。 与三角函数相关的不定积分尤其如此。

例如，正割函数的不定积分可以通过至少三种方法得到三种形式。 为了让大家感受后两种方案的强大功能，老黄决定从最复杂的方法入手。

问题：求 ∫secxdx。

解一：原积分=∫dx/cosx【基础：secx=1/cosx】

=∫dx/((cos(x/2 ))^2-(sin(x/2))^2)【根据：cos2x=(cosx)^2-(sinx)^2，记为式（1），下面也有用 】p>

=1/2*∫((cos(x/2) sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2)) (cos(x/2)-sin( x/2))/(cos(x/2) sin(x/2)))dx [反之，由后向前变换，在括号内加上共同点，检查其正确性。 这一步都是靠经验支撑，注意不定积分前多了一个1/2的系数。 】

=1/2*(∫(cos(x/2) sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))dx ∫(cos( x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2) sin(x/2))dx)【利用和的积分等于积分和的线性规律】

= -∫(d(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2)) ∫(d(sin(x/ 2) cos(x/2) )))/(cos(x/2) sin(x/2))【这一步做微分很有技术含量。 使两个不定积分同时微分。 注意不定积分前面的系数1/2是用来做微分的时候用的】

=ln|(cos(x/2) sin(x/2))/( cos(x/2)-sin(x/2))| C.【∫du/u=ln|u| 在这里使用，交换总是悄悄地完成。 另外还用lna-lnb=ln(a/b)】

=ln |(1 sinx)/cosx| C、【分子和分母同时乘以分子，分母采用平方差公式和公式（1），分子采用完全平方公式，且sin^2 cos^2=1，且2sinxcosx = sin2x]

这是第一个结果： ∫secxdx=ln|(1 sinx)/cosx| C.

看解法二，没有比较就没有伤害，可见其简单。

解法二：原积分 = ∫cosx/((cosx) ^2)dx [如果想玩难搞的，先弄复杂点，再搞定]

=∫dsinx/(1-(sinx)^2)【微分完成 悄悄】

=1/2*ln|(1 sinx)/(1-sinx)| C.【积分公式∫dx/(1-u^2)=1/2*ln|(1 u)/(1-u)| .]

这将得到第二个结果： ∫secxdx=1/2*ln|(1 sinx)/(1-sinx)| C． 可以简单到毁掉你的三观。 只是需要点脑筋想一下。

解法三：原积分 = ∫(secx(secx tanx))/(secx tanx)dx 会发现分子正好是 分母]

=∫(d(tanx s ecx))/(secx tanx)dx=ln|secx tanx| 】

由此得到原积分的三种不同形式：

∫secxdx∫secxdx=ln|(1 sinx)/cosx| C=1/2*ln| (1 sinx)/(1-sinx)| C=ln|secx tanx| C.

形式(1)和(3)显然是一致的。 关键是如何将式(2)转化为式(1)或式(3)。

其实也很简单，只需将√|(1 sinx)/(1-sinx )| 进入| (1 sinx)/cosx| 会做。 式(2)分子和分母同时乘以√(1 sinx)，分母为√(1-(sinx)^2)=|cosx| 成立; 分子为√(1 sinx)^2=|1 sinx|，同理成立。 因此，三种结果形式虽然不同，但可以统一为一种形式。 以后如果看到别人得到的不定积分结果和自己不一样，不要轻易说别人得到的不定积分结果是错的。