我儿子目前正在参加高中物理竞赛，需要补充一些差异化知识。 解释完孩子提出的问题后，我用视觉语言进行了整理。 最近刚好在整理初高中的知识点

导数：曲线上某点的导数，就是切线在该点的斜率，体现在物理上 作为瞬时速度，二阶导数是加速度。 这是牛顿提出并研究的方向。

微分：即将函数分成无限小的部分。 当曲线无限缩小时，可以看作是一条直线，微分可以表示为导数与dx的乘积。 这是莱布尼茨提出并研究的方向。

其实导数和微分在本质上没有区别，只是研究方向的区别。

积分：定积分是求曲线与x轴之间的面积； 不定积分是面积满足的方程，所以后者是求定积分的一种手段。 本质上，不定积分是定变极限积分。

换个角度看：

导数y’是函数在某一点的变化率，微分是变化量，导数是函数微分与自变量微分的商，即y’= dy/dx，所以导数和微分的理论和方法统称为微分学（已知函数、导数或微分）。 积分是微积分的逆问题。

极限是微分、导数、不定积分、定积分的基础。 当牛顿和莱布尼茨最先发现微积分时，还没有严格的定义。 后来法国数学家柯西用极限使微积分有了严密的数学基础。 极限是导数的基础，导数是极限的化简。 微分是导数的变形。

微分：无限小块的增量可以看做变化率，即导数。 积分：无限小块的面积之和可以看作是整个面积。

导数必须连续，闭区间必须连续，积分必须有界。

信息扩充

导数

导数是微积分中一个重要的基本概念。 当函数y=f(x)的自变量x在x0点产生增量Δx时，当Δx趋于0时，函数输出值的增量Δy与自变量Δx的增量Δx之比， 如果存在极限 a，则 a 是 x0 处的导数，表示为 f'(x0) 或 df(x0)/dx。 导数是函数的局部属性。

函数在某一点的导数描述了函数围绕该点的变化率。 如果函数的参数和值都是实数，则函数在某一点的导数就是函数所表示的曲线在该点的切线的斜率。 导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部线性逼近。

比如在运动学中，物体的位移对时间的导数就是物体的瞬时速度。 并非所有函数都有导数，函数也不一定在所有点上都有导数。 如果一个函数在某一点有导数，则称该函数在该点可微，否则称为不可微。 但是，可微函数必须是连续的； 一个不连续的函数一定是不可微的。

对于可导函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数（简称导数）。 求已知函数在一点或其导数的导数的过程称为求导。 求导本质上是一个求极限的过程，导数的四种算法也是由极限的四种算法推导出来的。 反之，已知的导函数也可以逆求原函数，即不定积分。 微积分基本定理指出，求原函数和求积分是等价的。 求导和积分是一对互逆运算，是微积分中最基本的概念。