1。 判断函数的奇偶性、周期性和对称性的方法和技巧

1. 函数的奇偶性包括两个必要条件：

(1) 定义域关于原点对称，是函数奇偶性的必要条件和不充分条件，所以首先考虑定义域。

(2)f(x)和f(－x)的判断 关系。 在判断奇偶性时，可以转化为等价的关系式f(x)+f(－x )＝0(奇函数)或f(x)－f(－x) = 0(偶函数 函数）为真。

具有常见特殊结构的奇偶函数：f(x)=loga(－x )( a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)=ax＋a－x（a＞0且a≠1）是偶数 功能。

2. 已知函数奇偶校验可以解决的三个问题

(1)函数值的计算：利用奇偶性，将待求值转化为已知区间上的函数值。

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化为已知区间，再用奇偶求出。

(3)求解析式中的参数：用待定系数法求解，根据f(x)± f(-x)=0 求参数恒等式，由系数等价得到参数的方程或方程（组），进而求值 的参数。

3. 函数周期性的判断与应用

(1)判断一个函数的周期性，只需要证明f(x＋T )＝f(x)(T≠0)可以证明函数是周期函数，周期为 T，函数的周期性往往与函数的其他性质结合在一起。

(2) 根据函数的周期性，可以从函数的局部性质得到函数的整体性质。 在求解具体问题时，要注意结论：若T为函数周期，则kT（k∈Z且k≠0)也是函数的周期。

其次，关于函数的奇偶性、周期性和对称性的共同结论。

1. 函数奇偶性的一般结论

(1) 如果函数f(x)是偶函数，则f (x)=f(|x|)。

(2)奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。

(3) 在公共定义域中，有：Odd ± Odd = Odd，Even ± Even = Even，Odd × Odd = Even，Even × Even = Even，Odd × Even = Odd。

2. 函数周期性的共同结论

对于f(x)域内任意自变量的取值x：

(1) 如果f(x＋a)＝－f( >x)，则T＝2a(a>0)。

(2) 如果f(x＋a)=f(x)(1)，则T＝2a(a>0)。

(3) 如果f(x＋a)=－f(x)(1)，则T＝2a(a>0)。

三、函数的奇偶性和周期性和对称性的易错点

1. 在判断函数的奇偶性时，不能忽略函数的定义域。 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件。

2. 函数f(x)是奇函数，必须满足定义域内的每一个x，有f(－x)＝－f(x)，但不能说有x0，令f(－x0)＝－f(x0)。 偶数函数也是如此。

3. 并非所有周期函数都有最小正周期，例如 f(x)=5。