1。 导数

①函数的变化率和导数的概念

1。 函数的平均变化率

函数值的变化与自变量的变化之比

2。 函数的瞬时变化率

对于一般函数y = f(x)，在自变量x由x0变为x1的过程中，

p>

若△x = x1 – x0 , △y = f(x1)-f(x0)，则函数的平均变化率为

而当△x趋于0时，则 平均变化率趋向于函数在 x0 点的瞬时变化率，瞬时变化率描述了函数在某一点变化的速度。

3. 平均变化率与瞬时变化率的区别与联系

①区别

平均变化率表征区间[x1,x2]上的函数值 speed of change，

瞬时变化率描述了函数值在x0点的变化速度。

②接触

当△x趋于0时，平均变化率△y/△x趋于一个常数，

这个常数就是函数 x0 处的瞬时变化率，它是一个固定值。

4. 导数的概念

函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义：

一般来说，函数y=f(x)的瞬时变化率 x=x0处的变化率是

我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记为

【知识结构图】

② 导数的计算

利用导数的概念来计算导数；

【例1】已知函数f(x)= 2x^2 3x – 1 , f'(2) 的值是多少？

【方法指导】有两种方法：

一种是先求△y，再求△y/△x，再求

第二种 ，先求f'(x)，再求f'(2)。

【求解过程】

求解一

求解二

利用初等函数求导公式求导。

二、导数的应用

（一）、导数在研究函数中的应用

函数的单调性，极值 和最大值，以及不等式的证明，常量成立问题等

(2)，生活中优化问题的例子

1，最大值的存在性 函数的定义及其计算方法

一般来说，如果在区间[a,b]中函数y=f(x)的图像是一条连续曲线，那么它必然有一个最大值和a 最小值。

只要求导求函数y = f(x)的所有极值，然后求端点的函数值，比较，最大和最小 可以得到函数的值。

【例2】函数f(x) = x(1 – x^2)在[0, 1]上的最大值为( )

【解析】

2. 生活中的优化问题

在生活中，我们经常会遇到追求最大利润、最节省材料、最高效率等问题。

这些问题通常称为优化问题。 导数是寻找函数最大（小）值的强大工具。

您可以使用导数来解决一些日常优化问题。

[示例 3] 一艘船正在航行 燃料成本与其速度的立方成正比。 据了解，时速10公里时，油费为6元/小时，其他与速度无关的费用为96元/小时。 则船速为每小时 ( ) 公里，则每公里行驶的总成本可以最小化。

[分析]

3. 生活中用导数求解最优化问题的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，

写出泛函 实际问题中变量之间的关系 y=f(x );

(2)求函数的导数f'(x)，求解方程f'(x)=0;

(3) 比较端点处的函数与区间极值点函数值的大小，最大（最小）为最大（最小）值。

注意 :

确定函数关系中自变量的定义区间，

p>一定要考虑实际问题的意义，

取值 不符合实际问题的应该舍弃。

[知识结构图]

3． 微积分基本定理

罗尔定理、费马定理、拉格朗日中值定理等

4． 定积分

1． 定积分的概念及简单应用

2． 定积分及其性质的理解