这是一道网友问的高等数学题，顺便分享给大家。 如果您有更好的解决方案，请分享。

已知函数f(x)=ax b/x c(a>0)在点(1,f(1))处的正切方程为y=x- 1.

(1) 用a表示b,c；

(2) 若f(x)≥lnx总是成立于[1, ∞) ,求a的取值范围。

解：(1)f'(x)=a-b/x^2，

∵f'(1)=a-b=1，∴b=a-1.

而f(1)=a b c=2a c-1,

将(1,2a c-1)代入y=x-1,2a c-1=0,

∴c=1-2a.

【第一小题是小题，真正难的是第二小题】

(2) 由(1)得到f(x)=ax(a-1)/x-2a 1(a>0),

当ax(a-1)/x-2a 1-lnx≥0 ，则成立。

不等式可转化为：a(x-1)^2≥xlnx-x 1..

当x=1时，不等式成立 （左右两边相等），所以结论成立；

当x>1时，a≥(xlnx-x 1)/(x-1)^2.，[两边 上述不等式同时除以(x-1)^2。 根据题意，不需要考虑x<1]的情况

记录h(x)=(xlnx-x 1)/(x-1)2，则

则h’ (x)=)=(2(x-1)-(x 1)lnx)/(x-1)^3,【这里用到了商的推导公式，需要 需谨慎简化】

∵lnx≥2(x-1)/(x 1), (x≥1)【这是本题最关键的一步。 这是关于 lnx 的不等式。 这个不等式不是很常用，所以一定要掌握]

∴h'(x)≤0。 化简后等于0]。

即h(x)在[1,∞]上单调递减。

【因为h(1)不存在， 所以h(x)[1,∞)中的最大值无限接近x=1，所以用极限求这个最大值]

∴a≥h(1)=lim(x ->1)( (xlnx-x 1)/(x-1)^2)=lim(x->1)lnx/(2(x-1))=lim(x->1)1/(2x )=1/2 .

[求极限的过程使用了洛必达定律，即当分数的分子和分母的极限都为无穷大或为0时， 分子和分母可以同时进行，直到分母的极限存在为止]

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