1. 掌握线性和二次函数的性质和图像特征；

2． 利用线性和二次函数的性质来解决相关问题。

1。 知识点总结

1. 一次性函数

定义函数y = kx b ( k ≠ 0 )称为线性函数，定义域为R，取值范围为R。

①线性函数的图形是一条直线，所以线性函数也叫线性函数；

② 在线性函数y = kx b ( k ≠ 0 )中，k称为直线的斜率，b称为直线在y轴上的截距；

当k > 0时，函数为递增函数； 当 k < 0 时，函数是减函数。

③当b=0时，函数为奇函数和比例函数，直线通过原点； 当 b ≠ 0 时，既不是奇函数也不是偶函数。

2. 二次函数

定义：函数y = ax^2 bx c ( a ≠ 0 )称为二次函数，定义域为R，像为抛物线。

①当b=0时，函数为偶函数，其图像关于y轴对称；

②

二次函数图（一）

③

二次函数特性图（二）

④ 二次函数的三种表示

二次函数数的三种表示(3)

⑤ 二次函数的对称轴方程y = ax^2 bx c ( a ≠ 0 )用复合法得到：x = -b / (2a) ;

⑥

二次函数图 (4)

⑦ 当用 待定系数法求函数的解析式，注意函数对解析式的要求，线性函数的比例系数、正比例函数、反比例函数、二次函数的二次项系数等； 根据具体问题，灵活选择其形式，然后根据问题设置条件方程组，确定其系数。

2. 典型例子

1． 线性函数的性质

例1：已知函数y=(2m-1)x+1-3m，求当m的值是多少：

(1) 是这个 函数是比例函数？ (2) 这个函数是奇函数吗？ (3)函数值y是否随着x的增大而减小？

解： (1)根据题意，得

例1图(1)

∴当m = 1/3时，这 函数是比例函数。

(2) 该函数为奇函数。

例1图(2)

∴当m = 1/3时，该函数为奇函数 功能。

(3) 根据题意，2m－1<0，∴m < 1/2

∴m < 1/2，函数值y随着 x的增加减少。

2. 求一个线性函数的解析式

例2.已知一个线性函数的图像通过点A(1,1)和B(-2,7)，求出这个的解析式 一次性函数。

解：设y关于x的函数的解析式为y=ax+b（a≠0），代入坐标A(1,1)和B(-2) ,7)分别转化为y=ax+b,

例2图(1)

∴y关于x的函数解析式为y=-2x+ 3.

3. 二次函数的取值范围

例3：已知函数f(x)=x^2+x－2，则函数f(x)在区间[－1， 1）向上（D）

A，最大值为0，最小值为-9/4 B，最大值为0，最小值为-2

C、最大值为0，无最小值 D、无最大值，最小值为-9/4

解法：

例3图（1）

4.闭区间上带参数二次函数最大值的讨论

例4：求f(x)=x^2－2ax－1上的最大值M [0,2] (a) 和最小值 m(a) 的表达式。

解：f(x)=(x－a)^2－a^2－1, x∈ [0,2],

顶点为(a, – a ^2－1)，二次项的系数为正，图像开口向上，

对称轴x=a，从f(x)左边 顶点（即x≤a）单调递减，在顶点右侧（即x≥a）单调递增，

所以f( x) 将图像和闭区间[0,2]（求两种最大值）分成4 解决这种情况。 图①～④中抛物线的实线部分。

例4 图(1)

图①中，当a < 0时，f(x)在[0,2]上单调递增，故M(a) ＝f( 2)＝－4a＋3，m(a)＝f(0)＝－1；

图②中，当0≤a<1，且f(0)≤f(2)时，即 , 当0≤a<1时, f(x)在[a,2]上单调递增,

所以M(a)=f(2)=-4a+3, m(a)= f (a)=-a^2-1;

图③中，当1≤a < 2时，f(x)在[0,a]上单调递减，最大值M(a) =f(0)=-1，最小值m(a)=f(a)=-a^2-1；

图④中，当a≥2时，f(x)减小 在 [0,2] 上单调，所以 M(a)=f(0)=-1，m(a)=f(2)=-4a+3。

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