函数可以说是高考数学最重要的部分，几乎是每年高考数学必考的热点之一。

这是为什么呢？ 我们可以从函数的定义中看出一些端倪，传统的函数定义：

一般来说，在一个变化过程中，假设有两个变量x和y，如果有一个唯一确定的y对应于任意一个x，则称x为自变量，y为x的函数。

x的取值范围称为该函数的定义域，y对应的取值范围称为函数的取值范围。

现代数学函数定义：

给定一个数集A，对A应用相应的法则f，记为f(A)，得到另一个数集B，即B= F A）。 那么这个关系就叫做函数关系，简称函数。

函数的概念包含三个要素：定义域A、范围C和对应的规则f。 其核心是对应律f，是函数关系的本质特征。

从这里可以看出，函数具有逻辑性强、系统性强、非常抽象等鲜明的数学特征。 相关问题都包含丰富的数学思维方法，包括数字和形状的组合。

因此，函数题因为其特殊性，在数学学习的过程中能够很好的培养一个人的思维能力，在考试中能够更好的检验一个人运用知识解决问题的能力。 成为高考数学热门考点。

幂函数是高中函数中的一个重要函数，也是五个基本初等函数之一。 今天我们就来说说高考中与幂函数相关的数学题。

一般是y=xα（α为有理数）形式的函数，即以底为自变量，幂为因变量，指数为a的函数 常量称为幂函数。 例如函数y=x0, y=x1, y=x², y=x-1（注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0）都是幂函数。

幂函数是 y=xa 形式的函数，其中 a 可以是自然数、有理数或任何实数或复数。

一定要记住一些常用的幂函数的图像和性质，如下表所示：

典型例子分析1：

已知二次函数 函数f(x)有两个零点0和-2，它有最小值-1。

(1)求f(x)的解析式；

(2) 若g(x)和f(x)关于原点对称，求g(x)的解析式。

解： (1) 由于f(x)有两个零点0和-2，

所以f(x)=ax(x+2)(a≠0) 可定，

此时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2－a,

由于f(x)有a -1的最小值，

所以必有a>0和-a=-1

A=1。

所以f的解析式 (x)为f(x)=x (x+2)=x2+2x。

(2)设点P(x,y)为函数g图像上的任意点 (x),

关于原点对称 P’ (-x, -y) 一定在 f(x) 图像上,

所以 -y=(-x )2+2(-x),

即-y=x2 -2x,

y=-x2+2x,

所以g( x)=-x2+2x。

同时牢记以下三个幂函数图的特点：

1. 幂函数的图像肯定会通过第一象限，但绝不会通过第四象限。 是否通过第二象限或第三象限取决于函数的奇偶性；

2. 幂函数的图像最多只能通过两个象限；

3． 如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点必须是原点。

典型例2：

假设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x>2时，图像 y=f(x)是顶点为P(3,4)并通过点A(2,2)的抛物线的一部分。

(1) 求函数f(x)在(-∞,-2)上的解析式;

(2)直接在下面笛卡尔坐标系中画出函数f(x)的草图;

(2) p>

(3) 写出函数 f(x) 的取值范围。

解： (1)设顶点为P(3,4)，经过点A(2,2)的抛物线方程为

y=a( x－3) 2+4，将(2,2)代入a=-2，

则y=-2(x-3)2+4，

即 ，当x>2时，f(x)=-2×2+12x-14。

当x2。

而f(x) 是偶函数，f(x)=f(-x)=-2×(-x)2-12x-14，

即f(x)=-2×2-12x-14 .

所以在(-∞,-2)上的函数f(x )是

f(x)=-2×2-12x-14.

(2) 函数f(x)的图形如图所示，

(3) 从图中可以看出，函数f(x)的取值范围为(-∞, 4].

求解任何函数问题，都需要借助函数的形象和性质，例如幂函数y=xα的形象和性质就比较复杂，因为 α的不同取值。一般从两个方面考察：

1.α的正负：

α>0，图像通过原点和( 1,1), 第一象限图像上升;

α<0，图像没有过原点，第一象限的图像第一象限的图像下降。

2. 第一象限曲线的凹凸度：

α>1，曲线为凸；

0<当α<1，曲线为凸；

当α<0时，曲线是凸的。

比较幂值时，需要结合幂值的特点，选择合适的函数。 借助其比较的单调性，准确把握各个幂函数的形象和性质是解决问题的关键。

典型实例分析3：

已知函数 f(x )=x2, g(x)=x－1.

(1) 若存在x∈R使得f(x)<b·g(x)，求取值范围 实数b;

(2) 令F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,|F(x)|在[0上单调递增 ,1],

求实数m的取值范围。

解：(1)∃x∈R, f(x)<bg(x)⇒∃x ∈R,

x2－bx+b0⇒b4.

所以b的取值范围为 (-∞, 0)∪(4,+ ∞).

(2)F(x)=x2－mx+1－m2,

Δ=m2－4( 1－m2)=5m2－4。

典型例子分析4：

若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f (x+1)-f(x)=2x, f(0)=1 .

(1)求f(x)分析公式的解；

( 2) 若不等式f(x)>2x+m在区间[-1,1]上成立，求实数m的取值范围。

解法：（1）由f(0)=1，

得c=1。 即f(x)=ax2+bx+1。

F(x+1)-f(x)=2x，

则a(x+1)2 +b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,

即2ax+a+b=2x,

所以2a=2且 a b=2。

解为a=1，b=-1。

因此f(x)=x2－x+1。

p>

(2)f(x)>2x+m等价于x2－x+1>2x+m,

即x2－3x+1－m>0,

要使这个不等式总是建立在[-1,1]上，

只要使函数g(x)=x2-3x+1-m的最小值在 [-1,1]大于0。

∵g(x)=x2－3x+1－m在[-1,1]上单调递减，

∴g( x)min=g(1)=-m -1,

从-m-1>0, m<-1.

因此实数的取值范围 满足条件的m为(-∞,-1)。