1. 证明抽象函数的单调性
已知f(X)是定义在R上的函数，它总是非零的，对于任意X，y满足：f(X )f(y) =f(x y)。
①求f(0)的值，证明对任意X∈R，存在f(x)>0；
②假设当xf(0)，证明f(x)是(-∞,∞)上的减函数。
〔思想探索〕①抽象函数问题是重复使用已知条件； ②抽象函数单调性只能通过单调性定义来证明，利用已知条件构造x1f(X2)或f(X1)0
②当×f(0)=1，当x1<X2，X1-x21，已知f(×1) f(一X2)>1, ∴f(X1)>1/f(一X2)
而f(x2-X2)=f(x2)f(一X2)，即f(x2)f(一X2)=f(0)=1
∴f( one X2 )=1/f(X2)
∴f(x1)>f(X2)
∴f(X)是(-∞,∞)上的减函数 .
[同步跟踪]
已知函数f(x)有f(a b)=f(a) f(b)对于任意a,b∈R 1,当 x>0，f(X)>1。
①证明：f(x)是R上的增函数；
②若f(4)=5，求解不等式f(3m²-m-2)<3。
错误：直接用字母a和b来代替单调性的定义。 纠错只需要设置a=x1，b=X2，当x10，f(X2-X1)>1。 f(X2)-f(1)=f((X2-X1) X1)-f(X1)=f(X2-X1) f(x1)-1-f(X1)=f(X2-X1) 1 >0。 抽象函数的单调性只能定义，构造定义满足的条件，充分利用已知。
②利用单调性求解不等式，两边都要变换成f(x)的形式，即f(X1)f(X2) .
[分析]①设X1，X2∈R，且X10（这里是关键，结构已知），则f(X2-X1)>1， f(X2)-f(X1)=f(X2-X1 X1)-f(X1)=f(X2-X1) f(X1)-1-f(X1)>O，即f(X1)>f (X2)，所以f(X)是R上的减函数。
②由已知f(4)=f(2 2)=f(2) f(2)-1=5， 求f(2)=3,
∴f(3m²-m-2)<f(2)
从①f(x)在R上递减,
∴3m²-m-2>2
解为m4/3。
二、求解含“f”的不等式
利用函数的单调性求解抽象不等式f(X1)>f(X2)，前提是f() 在两侧。 如上例中问题②。
【同步跟踪】若f(X)是定义在(0,∞)上的减函数，且满足：f(xy)=f(Ⅹ) f(y), f(1/ 3 )=1。
①求f(1)；
②若f(X) f(2-Ⅹ)<2，求X的取值范围。
[错误 -prone warning] 注意函数的域！ ！
[分析]①设X=y=1, f(1X1)=f(1) f(1), f(1)=O
②设X=y =1 /3, f(1/9)=2f(1/3)=2
当X>0且2-X>O时,
f(X) f(2 一X)=f(X(2一X))<f(1/9)
X>O
2一X>O
X (2-X)>1/9
解为1-2√2/3<×<1 2√2/3
所以X的取值范围是( 省略）
3. 综合培训
1． 已知函数f(x)的定义域为[-2,2]，f(x)在区间[-2,2]内为增函数，f(1-m)<f(m)， 求实数m的取值范围
【答案】(1/2,2]
2.已知R上定义的增函数f(x)满足 f(-x) f(X)=0, x1, x2, x3∈R, 且x1 x2>0, x2 x3>0, x3 x1>0。则
f(x1) f( x2) f(x3) value ()A
A.必须大于零
B.必须小于零
C.等于零
D.正负皆有可能
3.R上定义的奇函数f(X)满足f(1/2)=0,且在(0上单调递减 , ∞),则xf(x)>0的解集为()B
A{x|x1/2}
B{x丨0<x<1/2 or ー1/2<x<0}
C{X丨0<X< 1/2 or Ⅹ<one 1/2}
D{X|one 1/2<x1/2}
【探索思路】先画出函数的原理图，再结合图像来
4.在区间(a,b)上，函数f(x)和g(x)都是增函数，则F(x)= (a,b) 上的 f(x)g(x) 是
A。 递增函数
B. 递减函数
B. 递增函数或递减函数
D. 以上都不正确（D）
5. 已知 f(x) 是实数集上的减函数。 若a b≤0，下列说法正确的是 ( )
Af(a) f(b)≤ー[f(a) f(b)]
Bf(a) f (b)≤f(-a) f (ーb)
Cf(a) f(b)=-[f(a) f(b)]
Df( a) (b)≥f(-a ) (-b)
6. 已知定义在(0,∞)上的函数(x)有f(xy)=f(x) f(y),且当0<x0时，判断单调性 f(x) 在 (0, ∞) 上。
7. 已知f(x)=[g(X)-1]/[g(x) 1]，f(x)、g(x)的定义域均为R，g(x)>0， g(1)=2，g(x)是增函数，g(m)g(n)=g(m n)(m,n∈R)，证明：R中的f(x)是增函数。
8. 令函数 f(x) 有 f(x y)=f(x) f(y), f(-x)=ーf(x) 对于任何 x, y∈R ，并且当 x>0 时，f(x )<0, f(3)=-2。 尝试求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。
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