已知函数f(x)=x(1-㏑x)，设a和b为两个不相等的正数，则

b㏑a-a㏑b=a-b

证明：2<

1/a 1/b<e.

[简单证明]

1/a (1-㏑1/a)

=1/b（1

-㏑1/b）设u

=1/a,v=1/b,

则 f(u)=f(v).

设u v=m, 0<u

<m/2<v<m, F(x)=f(x)

-f(m-x),

F(0⁺)=f(0⁺)-f(m⁻)=m(㏑m-1)

F(m⁻)

=-F(0⁺)

=-m(㏑m-1)

F(u)=F (v)

=F(m/2)=0

F(x)在(0, m)中有三个不相等的零点u,m/2,v.

F′(x)

=f′(x)

-[f(m-x)]′

=- ㏑[ x(m

-x)].

令F′(x)=0,

x²-mx 1=0有两个不同的等根r₁ , r2, 0<r1<

m/2<r2<m,

m=r1 1/r1>2;

in (r1, r2 )

F′(x)<0,

F(x)单调递减, F(r₁)>

F(m /2)>F (r₂),

即F(r₁)>0

>F(r₂)。

在(0,r₁)内有u， 使得 F(u)

=0, 所以 F(0⁺)<0,

m(㏑m-1)<0, m<e;

p>

在(r2,m)中有v，使得F(v)=0，所以F(m⁻)>0,

m(1-㏑m) >0，m <e。 简而言之，2<m<e,

即2<1/a 1/b

<e.