如图（图1）所示，

图1

在水平光滑平面上，有两个质量为m₁和m₂的物体分别以v₁和v₂的速度运动（m₁m₂为定值），则两个物体的总动能为EK=½m₁·v₁² ½m₂·v₂²，总动量为p= m₁·v₁ m₂·v₂，如果将这两个方程放到平面笛卡尔坐标系中，则可以得到一个椭圆和一条直线，为了引入π的值， 设x=√(m₁) v₁, y=√(m₂) v₂，则可得方程组(图2)

图2

将其置于平面笛卡尔坐标系中即可得到（图3）。

图3

动量方程的斜率 k=-√(m₁/m₂)。 容易知道，由于动量和动能必须同时满足“守恒”条件，所以物体的运动状态只能是图中的A点或B点。 当物体在A点的运动状态下运动并发生碰撞时，运动状态将变为B点，否则将由B点变为A点。

第二部分：块影响分析

如图（图4）所示，

图4

质量为m₁速度为v₁的物体撞击质量为m₂的静止物体 (m₁>m₂)，质量为m₁的物体称为A，质量为m₂的物体称为B，两个物体将继续运动，直到两个物体完全向右运动且速度 A此时的速度大于B此时的速度，计算两个物体碰撞的次数和B撞墙的次数。 首先，一开始B的速度为0，所以此时y=0，则运动状态为A点如图（图5），

图5

第一次碰撞后，两个物体的运动状态变为B点。 然后B会撞到墙上。 此时，由于速度为矢量，物体B被弹回，速度大小不变，方向相反，故v2取相反数，v1不变，故运动状态变为 与 B 关于 x 轴点 C 对称（图 6）。

图6

那么当A和B再次碰撞时，由于斜率没有变化，所以会碰撞到D点。同理，再做一个对称点。 经过几轮操作，如图（图7）所示，

图7

当直线和圆只有一个交点时，碰撞结束。

第三部分：计算物体的碰撞次数

如图（图8）所示，

图8

通过A点为圆的切线，设∠EAB=β，由斜率的定义可知tan(π/2-β)=cotβ=k，由弦切角定理可知 设与弦AB的对角等于2β，用弧度系定义，可得弧AB=2βr。 同理，圆弧AC=圆弧BD=2βr，最后一个圆弧<2βr，因为弦切角≤β（如果大一点，应该还是可以碰撞的）。 设碰撞次数=L，则有2β·Lr<2πr，2β·(L 1)r≥2πr（不知道等号位置的可以取k=1，轻松画出 ). 整理后可得π/β-1≤L<π/β。 验证：当m₁/m₂=1时，cotβ=1，β=45°，此时3≤L<4，L=3。 同样，当m₁/m2=100时，cotβ=100，L=31，当m₁/m2=10000时，L=314，m₁/m2=1000000时，L=3141。

第四部分：冲击次数L与π值的关系

当β→0时，有cotβ≈1/β=k=-√(m₁/ m₂)（余切函数像），故由π/β-1≤L<π/β可推导出π×√(m₁/m₂)-1≤L<π×√(m₁/m₂)，此时， 若√(m₁ /m₂)为10的倍数，则L为π×的整数部分，为10的倍数。 Autumn Tuna")

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