这是“机器学习中的数学基础”的第 13 部分和微积分的第 6 部分。

今天，我们就来看看几个求导的魔术，让你在不知不觉中掌握微分的高深技巧。

话不多说，先来看看隐函数是怎么推导的。 那么什么是隐函数呢？ 例如x² y²=1，它不用y=f(x)的显式表示，所以称为隐函数。 我们先画出它的形象：

如上图，我们画了一个单位圆，现在要求A(a,b)点的导数，怎么办？ 有人说我们可以把x²y²=1写成y=f(x)的形式，然后求导。 是的，但是由于转换次数太多，操作起来很麻烦。 有没有更简洁的方法？

对，就是对等式两边同时求导。 我们可以得到：2xdx 2ydy=0。 然后，我们化简为导数形式，即dy/dx=-x/y (1)。 这就是我们要求的结果，也就是说对某一个点A(a,b)求导相当于将该点的坐标(a,b)代入式(1)，可以得到 .

你看，是不是很方便？

接下来，让我们看看洛比塔定律。 这条法律是干什么用的？ 用于求函数在某一点的极限。 比如我们要求函数y=x³在x=0处的极限，直接将x=0代入函数，得到的值为0，这就是求的极限。

但有时，比如我们求y=sinx/x的极限在x=0，代入x=0后，发现分子和分母都为0，没有意义； 另一种情况是求y=xlnx 在x=0 处的极限，代入x=0 后，形式为0·∞，不能直接代入解。 那么这两种情况我们应该怎么办呢？

先看第一个0/0公式，我们可以直接微分函数y=sinx/x的分子和分母，因为sinx和x这两个函数在x=0的导数有 与 x=0 处的极限意义相同。 因此求导后可得cosx/1=cosx。 然后代入x=0得到1。所以y=sinx/x在x=0的极限为1。

看第二种情况，y=xlnx可以写成lnx/x^ -1。 代入x=0，发现分子和分母都是∞，所以可以转化为∞/∞的形式。 这种情况下，我们还是分别对分子和分母求导，可以得到：

将x=0代入上式，结果为0，所以y=xlnx的极限在x=0 为0。

今天就到此为止，欢迎大家留言讨论。