学习函数内容一直是很多学生的重点和难点，甚至有学生因为没有学好函数内容而未能在中考数学中拿到高分而错过了理想的学校 考试。
初中数学一般要学习三种函数：线性函数（包括比例函数）、反比例函数、二次函数。 其中，二次函数作为初中数学中最重要的内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。
凡是与函数有关的数学问题，都需要先找出函数的解析式，然后结合函数的形象和性质来求解。 因此，一个人能否熟练地求出二次函数的解析式，是成功解决二次函数相关问题的重要保证。
今天我们就简单说一下如何求二次函数的解析式。 在初中数学课本中，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：
1. 通式：y=ax2 bx c(a≠0)。
2. 顶点公式：y=a(x－m)2 k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3。 交点公式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标。
那么这三种形式有什么区别呢？ 在解决实际问题的过程中，如何选择？ 求二次函数的解析式，一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，从而得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质，得到系数应满足的方程或方程组，再求解方程或方程组，或某些系数满足的关系式，得到待定系数 能够被找到的。 这种求解问题的方法称为待定系数法。
我们结合待定系数法和二次函数的三种基本形式来确定函数关系公式。 我们必须根据不同的条件建立一个合适的解析公式，如下：
1 ，如果给定抛物线上的任意三个点，通式y=ax2 bx c(a≠0)通常可以 用于解决问题。
2. 如果给定抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值，通常可以设顶点公式y=a(x－m)2 k(a≠0)求解。
3. 若给定抛物线与x轴的交点或对称轴或交点与x轴的距离，求交公式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠ 0) 来解决。
值得注意的是，要用交点公式求二次函数的解析式，前提是二次函数与x轴有交点坐标。
求解二次函数的解析公式，典型实例分析1：
已知一个二次函数图像经过(-1, -3), (2, 12) )和(1, 1)三点，则该函数的解析式为______。
解：将点(-1, -3)、(2, 12)、(1, 1)的坐标代入y=ax2 bx c，可得：
-3 =a(-1)2 b(-1)c
12=a 22 b 2 c
1=a 12 b 1 c
求解 a=3、b=2、c=-4。
因此，求函数的解析式为y=3×2·2x-4。
求待定系数a、b、c，得到解析式y=ax2 bx c。
解题反思：
已知二次函数对于图像上的三点，其解析式可设y=ax2 bx c，三点坐标 代入，将问题转化为求解一个三元一次方程组，易得a=3，b=2，c=-4，故求函数的解析式为y=3×2 2x- 4.
求解二次函数的解析式，典型例分析2：
已知二次函数的图形为(-1,-9),(1,-3) 和(3,-5)三点，求出这个二次函数的解析式。
解：设这个二次函数的解析式为，从题目：
-9=a(-1)2 b(-1)c
-3=a·12 b·1 c
-5=a·32 b·3 c
解为a=-1,b=3,c= -5。
∴二次函数的解析公式为
求解二次函数的解析公式，典型实例分析3：
在平面直角坐标系下 ，顶点为A(1, -1)的抛物线通过点B(5, 3)，求抛物线的解析式。
解： (1)设抛物线的解析式为y=a(x￣1) 2￣1，
将B点的坐标代入解析式 函数得到(5﹑1)2a﹑1=3,
解为a=0.25。
所以抛物线的解析式为y=0.25(x￣1) 2￣1。
求解二次函数的解析式，典型实例分析4：
知道抛物线的顶点(-1, -2)，图像穿过(1, 10)，求解析式。
解：设抛物线y=a(x－m)2 k，由题：
m=-1,k=-2
∴y=a(x 1)2-2
∵抛物线过点(1, 10)
∴a(1 1)2-2=10
所以a=3
即解析式为y=3×2 6x 1。
求解二次函数的解析式，典型实例分析5：
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有 已知二次函数的图像与轴的交点为(-5, 0), (2, 0)，图像穿过(3, -4)，求 解析式。
解：令求解析式为y=a(x 5)(x－2)
∵图像穿过(3,-4)
∴a(x 5)(x－2)=-4
∴a=-0.5
即：y=0.5(x 5)(x－2)
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则求得解析式为y=-0.5×2-1.5x 5。
求解二次函数解析式，典型实例解析6：
已知抛物线 y=-2×2 8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2 bx c的像过点A，与x轴相交于两点B(0, 0) 和C(3, 0)，试求这个二次函数的解析表达式。
解：∵二次函数y=ax2 bx c的图像与x轴相交于两点B(0,0)和C(3,0)
∴ 设二 二次函数的解析式为y=ax(x-3)
∵y=-2×2 8x-9的顶点为A(2,-1)。
∴将A点坐标代入y=ax(x-3)，
得到a=0.5
∴y=0.5x(x- 3 ),
即y=0.5×2-1.5x。
请记住，二次函数的解析公式一般有以下三种基本形式：
1． 通式：y=ax2 bx c(a≠0)。
2. 顶点公式：y=a(x－m)2 k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3. 交点公式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标。
