如图所示，过O点的直线与双曲线y=(k>0)相交于A、B两点，P为双曲线上任意一点（不与A、B点重合）， PA与x轴相交于C点，PB与x轴相交于D点。设A点坐标为(m,n)，则根据对称性可得B点坐标为( -m，-n）。 设P点坐标为(a, b)，则C点坐标为(a+m, 0)，D点坐标为(a-m, 0)。 若PM⊥x轴放在M点上，则M点坐标为(a,0)，∴CM=a+m-a=m，MD=a-(a-m)=m，∴CM=DM，则 PM所在的直线为线段CD的垂直平分线，∴PC=PD。

如图所示，过O点的直线与双曲线y=(k>0 )在A、B两点，P为双曲线上任意一点（不与A、B点重合），PA与y轴相交于E点，PB与y轴相交于F点。设坐标 A点为(m, n)，则B点坐标为(-m, -n)。 设P点坐标为(a,b)，则E点坐标为(0,b+n)，F点坐标为(0,b-n)。 使PM⊥y轴在M点上，则M点坐标为(0,b), ∴EM=b-(b+n)=-n, FM=b-n-b=-n, ∴EM=FM, ∴ PE=PF。

解释

（1）过原点的直线与双曲线相交于A、B点，P为双曲线上任意一点（不与A、B点重合），PA相交 x轴、y轴在C、E、PB点分别与x轴、y轴在D、F点相交，则PC=PD、PE=PF。

(2) 求解上述结论的基本方法：求出直线PA、PB的函数表达式，然后分别求出直线与x轴、y轴的交点，即

(3) 其他结论：

①CD=|2m|, EF=|2n|;

②k====-,

k=====,

k+k=0.

例（2015常州·修订）如图，反比例函数y=的图像与线性函数y=x的图像相交于 A点和B点，B点的横坐标为4。P点是第一象限反比例函数图像上的移动点，在直线AB的上方。

(1)若点P的坐标为(1, 4)，则k=_____， △PAB的面积=________；

(2)设直线 直线 PA、PB 和 X 轴分别交于点 M 和 N。 证明：△PMN是一个等腰三角形；

(3)设Q点为反比例函数图像上P、B的移动点（点P、B不重叠）， 连接AQ、BQ，比较∠PAQ和∠PBQ的大小，并说明原因。

分析

（1）条件“P(1, 4)”是误导条件，后面两题不可用。

作者 P( 1, 4) 可得k=4。∵B点在线性函数y=x的图像上，横坐标为4，∴B点的纵坐标为1，即B( 4,1).∵A、B点关于O点中心对称，∴A点坐标为(-4,-1)。 连接OP，得到两个原点三角形：△POA，△POB。∴△PAB的面积＝△POA的面积＋△POB的面积=（4+1）（4-1）+（4+ 1)(4-1)=15.

(2)分别计算直线PA和PB的函数表达式（回答问题比较全面的可以省略具体的计算过程），

(3)将QA和QB分别与x轴相交于E点和F点，则可得QE ＝QF，进一步证明∠PAQ＝∠PBQ。

答案

(1) 4, 15.

(2) 由B(4, 1) 取k=4，设P点的坐标为(a,)，从A点(-4,-1)得到直线PA的表达式为：y=x+,从B点(4,1) 得到直线PB的表达式： y=-x+, ∴设y=0 得到M点坐标为(a-4,0)，N点坐标为(a+4,0) ,令PC⊥x轴在C ,则C点坐标为(a,0),CM=a-(a-4)=4,NC=(a+4)-a=a,∴CM= CN, ∴PM=PN。

(3) 令Q(m,)(1<m<4),同(2)可得：QE＝QF,

∴∠QEF＝∠QFE。

∵∠PMN－∠PAQ＝∠AEM＝∠QEF，

∴∠PMN－∠QEF＝∠PAQ。

∵∠PMN＝∠PNM，∠PNM－∠QFE＝∠FBN＝∠PBQ，

∴∠PAQ＝∠PBQ。

练习

1. 如图，过原点的直线与反比例函数相交 y=的像在A(1,-3)点和B点，P点是反比例函数图像上的移动点 在第二象限B点以下，PA与x轴交于C点，PB与x轴交于D点。求证：PC＝PD。

2. 如图所示，过原点的直线与反比例函数y=的像相交于A(-2,-1)、B点，P、Q点在反比例函数的像上 在第一象限移动点，且P在B点上方，Q在B点下方，PA与y轴相交于C点，PB与y轴相交于D点，QA与y轴相交于E点，QB与y轴相交 -轴在D点。若∠CPD＝100°，∠EQF＝30°，则∠PBQ＝______°。

1.

分析

分别求（或设）点A、B、P的坐标，然后求直线 行 PA, PB 函数表达式（回答题综合性高，可以直接写），然后分别计算它们与x轴的交点，问题就解决了。

答案

由A(1,-3)确定得k=-3，设P点坐标为(a,-)，直线PA的表达式为：y=x-，∴C点坐标为 (a+1, 0)。 B点与A点关于原点对称，则B点坐标为(-1, 3)，直线PB的表达式为：y=-x+，D点坐标为(a-1, 0 ), PE⊥x轴在E,则E点坐标为(a,0),CE=a+1-a=1,ED=a-(a-1)=1,∴CE=DE , ∴PC=PD。

2.

分析

（1）对于填空题，可以直接用例题前面的知识点，条件“（-2 , -1)”可以省略。

(2)由知识点决定：PC＝PD，QE＝QF。

∵∠CPD＝100°，∠EQF＝30 °，

∴∠PCD＝∠PDC＝40°，

∠QEF＝∠QFE＝75°，

∴∠DBF＝75°－40 °＝35°，

∴∠PBQ =180°－35°＝145°。

答案是145