函数参数的不同取值范围对应的函数关系也不同，我们的函数称为分段函数。 在学习初级函数中的分段函数时，通常要注意以下几点： (1) 特别注意对应的变量区间。 自变量对应的取值范围应在解析式和图像中体现出来。 (2) 分段函数的图像是由若干条线段（或射线）组成的折线。 每条线段（射线）代表某个阶段的情况。 (3)分析分段函数的形象，要结合实际问题的背景，认识和理解形象的含义。 尤其需要理解折线中横纵坐标的实际含义。
一、分段计费问题
例1.我国是世界上严重缺水的国家之一。 为增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采取按户计费的方式。 即1月用水量不足10吨（含10吨）的用户，按每吨水元计费； 1月用水10吨以上的用户，仍按10吨水元/吨计费，超过10吨的部分按1元/吨计费。 元（b>a）费。 假设某户每月用水吨数，应收水费为元，与之间的函数关系如图13所示。
（1）计算值； 如果一个家庭上个月用了8吨水，应该收取多少水费？
(2) 求值，写出当时与 之间的函数关系；
(3) 已知上个月居民A比居民B多用水4吨， 两户人家一共水费是46元，上个月用了多少吨？
分析：（1）当时有。 将被代入，得到。 ∴y=1.5x
当x=8时，y=8×1.5=12（元）。
(2)当时有将军，代入，
得。 ∴. 所以当时，。
(3) 因为， ∴ A 和 B 上个月用水量均超过 10 吨。
假设甲户和乙户上个月分别用水吨和吨。 12吨水。
2. 行程中的分段函数
例2，特快列车从A开往B，慢车从B开往A，两车同时出发。 假设慢车行驶的时间为 ，两节车厢的距离为 ，图中的虚线表示 和 之间的函数关系。
根据图像，进行如下研究：
信息读取
（1）A和B之间的距离为km；
（2）请解释图中各点的实际含义；
图像理解
（3）求慢车和快车的速度；
( 4) 求出线段与所表示的函数关系，写出自变量的取值范围；
问题求解
(5) 若 第二列特快列车也是从A地开往B地，速度与第一列特快列车相同。 第一列特快列车与慢车相遇三十分钟后，第二列特快列车与慢车相遇。 找出第二列特快列车比第一列特快列车晚多少小时发车？
分析：（1）900；
（2）图中各点的实际含义是：当慢车行驶4小时时，慢车和快车 火车见面会
(3) 从图中可以看出，慢车在12h内行驶的距离为900km，
因此慢车的速度为；
当慢车行驶4h时，慢车两节车厢的行驶距离之和为900km，所以慢车和快车的速度之和为 ，所以快车的速度为150km /H。
(4) 根据题意，特快列车行驶900km到达B点，故特快列车到达B点，此时两节车厢的距离为 ，所以 该点的坐标为 。
假设线段表示的 和 之间的函数关系为，代入
得到解
那么，线段表示的 和 之间的函数关系为。
自变量的取值范围是。
（5）慢车30分钟后与第一列快车相遇，与第二列快车相遇。 此时慢车的行驶时间为4.5h。
代入，得到。
此时慢车与先行快车的距离等于两列快车的距离为112.5km，所以两列快车的发车间隔为，即 即，第二列特快列车与第一列特快列车之间的距离 特快列车0.75h后发车。
3. 几何图形相关的截面函数
例3.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，移动点P从A点开始按A—B—C—D方向移动 到D。如图3-1所示。 设移动点P走过的距离为x， △APD的面积为y。 （当点P与A或D重合时，y=0）
（1）写出y与x的函数关系；
（2）画出该函数的图像。
分析：（1）P在AB、BC、CD三边对应的函数关系不同。 相应的功能公式应分段获得。
①P在AB边，当0≤x<3时，y=×4x=2x
②P在BC边，当3≤x<7时，y=×4 ×3=6
③P在CD边，当7≤x≤10时，y=×4(10-x)=-2x 20
∴y=
(2) 功能图如图3-2所示。
