二次函数中的三角形

育才初中

但水平

二次函数中的三角形问题是上海中考数学试卷中的一个常见热点。

在解题过程中，主要用到二次函数的解析公式、图形的对称性以及相似三角形的相关知识，经常涉及到方程、距离公式、锐角三角形比等相关知识。 ，有时还会用到图形运动相关的知识。

在解决问题的过程中，首先要熟练运用待定系数法、匹配法等数学方法。 还要运用相关的数学思想，如归约思维、方程思维、函数思维、数形结合，尤其是分类讨论的思想。

我们来看一下二次函数与相似三角形组合的综合题。

那么废话少说，进入正题！ ！

角度相等

1。 如图所示，在平面笛卡尔坐标系中，二次函数y=ax^2 6x c的图像通过点A(4,0)和B(-1, 0)，与y轴相交 在C点，D点在线段OC上，OD=t，E点在第二象限，∠ADE=90º，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂直脚为F。

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求线段EF和OF的长度（用含t的代数公式表示）；

p>(3) 当∠ECA = ∠OAC时，求t的值。

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说明：本题利用二次函数图像上的点组成图形，将相似的形状组合起来，主要是利用中的线段的比例关系 相似三角形求解题． 难点在于等角条件的应用，如何将角的关系转化为边的关系。

待定系数法

2． 如图所示，二次函数图像的顶点为坐标原点O并通过A点(3, 3)，二次函数的图形通过A点和B点(6,0)。

(1)求二次函数和一阶函数的解析式；

(2)如果一阶函数的图像相交于C点，点 D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图像相交于E点，∠DOE=45º，求D点坐标。

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说明：本题以一次函数和二次函数为载体，结合相似三角形，运用方程式思维，综合运用所学的知识和方法进行解题。

第（1）题考查待定系数法基本方法的掌握情况，第（2）题考查观察发现能力、数形组合能力。

双方关系

3． 已知在平面笛卡尔坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x^2-bx c(b>0) 图像经过点A(-1, b)，与y相交 -轴在B点，∠ABO的余切值为3。

若此函数图像的顶点为C，则证明：∠ACB=∠ABO。

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说明：由于A点在本题的函数图像上，所以A点的坐标满足函数的解析式，从而得到 B点的坐标，由b>0，可以看出A点在第二象限。

由B点的坐标和∠ABO的余切值到3，可以画出线段AB。

通过A点，画一条垂直于y轴的直线，求出A点的坐标，由A点的坐标，可以求出这个二次函数的解析式，从而得到

然后和上一题类似，利用边的关系得到相似三角形，于是题解。

综合应用

4. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2 bx 3 与x轴的两个交点为A(-3, 0), B(1, 0)，过顶点C，令CH⊥ x轴到H点。

(1)求抛物线的解析函数及其顶点C的坐标；

(2)y上是否有点D 轴，使得△ACD 与直角三角形的AC 边倾斜？ 如果存在，求D点的坐标； 若不存在，说明原因；​​

(3) 若点P为x轴上方抛物线上的动点（点P与顶点C不重合），则PQ⊥AC为 在Q点，当△PCQ与△ACH相似时，求P点的坐标。

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使用说明： (1)代入A(-3, 0)和B(1, 0)转化为y=ax^2 bx 3求得，然后用平方法求顶点坐标。

(2) 先证明△CED∽△DOA，得到y轴上的点D(0, 3)或(0, 1)，则可得△ACD为 基于 AC 作为 的斜边直角三角形。

(3)先求出直线CM的解析式为y=k1x b1，然后同时利用两个函数的解析式得到交点的坐标，再用如果 点P在对称轴的左边（如②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得到答案。

本题主要考察二次函数的综合应用和相似三角形的应用。 二次函数的综合应用是初中的重点题型，尤其是数与形的结合是这部分的考点。