从1854年开始，魏尔斯特拉斯就在《纯粹与应用数学杂志》上发表论文，为世人所瞩目。 他于 1856 年在柏林获得教授职位。魏尔斯特拉斯教授分析，并被许多重要的数学家听过。 从而直接或间接影响了很多人，包括施瓦茨、赫尔德、康托等。 以下说明主要基于这些讲义的 1878 年版。

Weilstrasse 的方法是基于 Cauchy 的方法。 魏尔斯特拉斯的方法有两个非常重要的主题：一是消除了极限过程中的运动概念； 二是函数的表示，尤其是复变函数。 这两个主题密切相关。 在极限的非运动定义中，研究现在称为实线和复平面的拓扑是至关重要的，其中我们有极限点的概念，局部和局部有明显的区别 全球的。 魏尔斯特拉斯研究的中心对象是函数（一个或多个实变量或复变量的函数），但需要注意的是没有涉及集合论，因此函数不被视为有序数对的集合。

这些讲义从现在熟悉的主题开始：从整数到有理数、复数和实数的发展。 例如，负数是根据运算来定义的，这样整数在减法下也是封闭的。 他曾试图用一种统一的方法来定义有理数和无理数，包括单位分数和小数，但现在看来有点模糊。 魏尔斯特拉斯对实数的定义从现代的观点看并不令人满意，但分析算术化的一般路径已由这种方法确定。 他还开发了函数类，即用幂级数表示，从有理函数出发构建函数类。 这样，根据魏尔斯特拉斯的方法，多项式（称为整数有理函数）被提升为“具有整数性质的函数”，即幂级数展开处处收敛的函数。 Weierstrass 的因子定理断言，任何此类函数都可以分解为某个“质数”函数和具有某种多项式指数的指数函数的乘积（可能是无限乘积）。

Weierstrss 给出的极限定义是完全现代的（Weierstrss，1988：57）：

说一个变量 y 与另一个变量 x 同时变得无限小就是说，“在假设一个任意小的量 ε 之后，可以为 x 找到一个边界 δ 使得对于每个 x 的对应值， |y| 必须小于 ε”。

魏尔斯特拉斯立即用这个定义证明了多变量有理函数的连续性，其论证在今天的教科书上都能找到。 变量趋于确定值的旧概念被有关量化相互关联的不等式的命题所取代。 在使用不等式的框架内制定假设成为魏尔斯特拉斯学派著作的指导主题。 这种语言对诸如涉及限制的交换等问题的清晰度意味着以前棘手的问题现在可以用魏尔斯特拉斯传统方式来处理。