大家还记得中学学三角函数的时候，每个人都会领到一本黄皮书。 这本书可以帮助我们计算任意一个角的三角函数值。 用法很简单，大家一般不会有疑惑。

后来，我帮一个中学生辅导数学。 那个时候讲三角函数。 小鬼问了一句，他说：“这个特殊角度的值可以直接记下来，但是这个表中的所有角度值一开始是怎么算出来的！”。 没想到他会问出这样的问题，因为答案没有那么简单，超出了他现阶段所学的知识范围。 肯定有人会说，这简单！ 使用计算器！ 有这种想法的同学可以直接领盒饭了，呵呵。 在这里我将告诉你如何计算任意角度的三角函数值。

Brook-Taylor

学过高等数学的人都知道一个很重要的公式——泰勒公式：

泰勒公式简单的说就是f(x)的函数可以表示为(x-x0)的n次多项式的连续相加。 因为n的取值无穷大，所以这个公式是一个无穷大的逼近效果。 另外，如果要使公式成立，还需要保证函数f(x)在x0处有n阶导数。 只要满足这个条件，x0 的任何变化都只会影响每个系数。

如果将x0=0带入公式，会演化成这样：

这就是著名的 McLaughlin 公式。 显然，我们的三角函数sinx在x=0时有一个n阶导数。 这样，用公式展开（这里只关注sinx，其他三角函数同理）如下。

这是一个无限项，在工程数学中，我们需要一个值。 由于前三项所占比例非常大，一般前三项可以保证常用的有效精度。 需要注意的是，x的角度应该以弧度计算。

得到这个数值公式，我们完全可以算出任意sinx的值等等，其他的三角函数自然不在话下。 中学三角函数查表就是这样得到的（问题的讨论还没有结束，函数表还有精度补偿的作用，这个问题下一章会回答）。

最后说一下。 聪明的同学一定想到了用程序实现这个计算会更简单。 是的，我们常用的C语言三角函数数学库和Matlab计算都是基于这个公式（精度根据需求）。 好了，看完这篇文章，你也可以编写自己的三角函数数学库了。

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