作者| 程启祥

来源| 《数学教学》1955年第1期，P16-18，原题《三角函数表上的数是什么是无理数》，本文转载时作了适当修改。

（注：公式显示不全，左右滑动查看）

当前 中学数学课程 数学的划分容易产生偏差，即在一门课程中遇到的问题在另一门课程中往往被完全忽略，从而影响数学知识的完整性。 比如代数，我们要讲有理数和无理数。 然而，在三角函数中，虽然我们经常处理大量的三角函数值，但它们的算术性质——它们是有理数吗？ 还是无理数？ 很少有人问过。 这样一来，也难怪普通教师似乎对无理数的认识很差了。 除了这类无理数和 ，他们只知道一些“人造”无理数，比如1.010010001….

这里提出问题“哪些有理角的三角函数值是无理数？” 并尝试使用基本工具来解决它。

首先，我们来解释一下什么叫“有理角”，即任意形状为 的角，其中 和 为整数，且 . 由此可知，普通三角函数表上用度分秒表示的角都是有理角。 关于有理角的三角函数值的算术性质，我们可以得出如下结论：

有理角的正弦和余弦除 和 外都是无理数； 有理角的正切除 外都是无理数。

证明如下：

根据de Moivre公式

比较等式左右两边后得到

这里是一个正整数。 如果是偶数，则上式的最后一项是； 如果 是奇数，则上式的最后一项是 .

设置是一个理性的角度，那么。 从而满足整数系数方程

整理式(1)的降幂，注意

则为奇数时，得

为偶数时

在这里，我们要引用一个著名的代数定理：

一个具有整数系数的代数方程

如果有有理根 （其中），但是。

将这个定理应用到（2）和（3）中，我们知道当“形”为奇数和偶数时，

但这种关系只有当

其次，当“形”为偶数时，由于其分母为奇数，利用上面得到的结果，我们知道必有

即 可以说：当它是偶数个“形”时，只能有一个有理值0。

因为 ，我们知道这些数也是正弦的唯一有理值 理性的角度。

最后设置为有理角，这里立马得到了

这意味着同时也是有理数，但是根据 以上结果，一个有理角的正弦和余弦同时为有理数的情况，只能限于两者其中一个为0，另一个为 。 这意味着 0 和 是有理角正切的唯一有理值。

因此，只有有理角的三角函数

是有理数，其余都是无理数。

最后，值得一提的是，因为（1）我们知道所有有理角的余弦（以及正弦和切线）都是代数数。 根据伽罗瓦（Galois）理论也可知，这类代数数可以从整数出发，经过有限数的四次算术和平方根运算，就可以清楚地表示出来。 至于有限后四和平方根运算所能表达的有理角，则被限制在一个很窄的范围内。 对此有一个著名的高斯（Gauss）结果。 可以参考Oknev: Algebra，这里就不赘述了。 .