1. 三角函数的概念

单位圆的定义允许为所有正负参数定义三角函数，而不仅仅是 0 到 π/2 弧度之间的角。 逆时针方向测量为正角，顺时针方向测量为负角。 对于大于2π或小于-2π的角度，可以继续绕单位圆旋转得到。

例如：角α的末端通过点P(3,-4)，则cosα=3/5。

二、三角函数的归纳公式

（奇数变偶数不变，符号取决于象限）

归纳公式可以概括为：对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值， 当k为偶数时，得到与α同名的函数值，即函数名不变； 当k为奇数时，α对应的余函数值sin→cos； 余弦→正弦； 棕褐色→婴儿床； 得到cot→tan。 （奇数变偶数不变），然后把α看成锐角时加上原函数值的符号（符号见象限）。

例如：sin(-2π－α)=sin(-4·π/2－α)，k=-4为偶数，故取sin； 当α为锐角时，-2π－α在第四象限，sin(-2π－α)<0，符号为“-”。 所以sin(-2π-α)=-sinα。

和差角公式

正弦、余弦、正切、余切和差角公式：

倍角公式

倍角公式由和差角公式展开得到。

三、三角函数的形象

A cycle里面的图片如下图。

四、三角函数的取值范围

当 当x∈R时，sinx的取值范围为[-1, 1]。

当x∈[a, b]时，求y=Asin(ωx φ)取值范围的问题可以使用代入法，令t=ωx φ，根据下式确定t的取值范围 x的范围，然后求sint的范围，进而得到函数的范围。

例如求函数y=4cos(x+π/6)-2,x∈[0,π/2]的取值范围，从x∈[0,π/2] ],得到x+π/6∈[π/6,2π/3],即cos(x+π/6)∈[-1/2,√3/2],故y∈[-4, 2√3-2]。

5. 三角函数的单调性

sinx的单调递增区间为x∈[2kπ-π/2,2kππ/2]，单调减区间为x∈[2kππ/2, 2kπ 3π/2],k∈Z。

cosx的单调递增区间为x∈[2kπ-π,2kπ]，单调递减区间为x∈[2kπ,2kππ],k∈Z。

求y=Asin(ωx φ)的单调递增区间，ωx φ可以看成一个整体，即ωx φ∈[2kπ-π/2,2kπ π/2]， k∈Z； 解为x∈[(2kπ-π/2-φ)/ω,(2kππ/2-φ)/ω], k∈Z。

例如f(x)=5sin(2xπ/4)的单​​调递增区间为2xπ/4∈[2kπ-π/2,2kππ/2],k∈Z。 那么2x∈[2kπ-3π/4,2kππ/4],k∈Z。 即x∈[kπ-3π/8, kππ/8], k∈Z。

6. 三角函数的周期性

三角函数有一个周期，最小的正周期用T表示，nT（n为整数）也是三角函数的周期。

sinx和cosx的最小正周期为T=2π； tanx和cotx的最小正周期为T=π。

y=Asin(ωx B) C 或 y=Acos(ωx B) C，其中 A、ω、B 和 C 是常数。 周期只与x的系数ω有关，最小正周期T=2π/ω。

七、三角函数的对称性

正余弦函数的图形既是中心对称的又是轴对称的。

正余弦函数图像的对称轴是函数图像的最高（最低）点，是垂直于x轴的直线； 对称中心是图像与 x 轴的交点。

例如：函数y=sinx图像关于直线x=kππ/2对称，关于点(kπ,0)的中心对称。

8. 三角函数图形变换

1. 平移变换

函数图像y=f(x)通过向量(a , b)平移，得到的新图像可以根据向量(-a, -b)平移回原图， 并且满足原函数的相应规则，所以新函数为：y-b=f(x-a)。 即图解翻译可以看作是根据向量进行减法的函数（即“左加右减，上下加减”）。

例如：函数y=sinx图像向左平移5个单位，则平移3个单位后的函数为y-3=sin(x-(-5))， 完成后：y=sin(x 5) 3.

2. 缩放变换

对于函数y=f(x)，图像x改变a次，y改变b次，新图像x改变1/a次，y改变1/b次即可返回 对原图像，并满足原函数的相应规则，新函数为：y/b=f(x/a)。

例如：将函数y=sinx图像的横坐标缩小5倍得到函数y=sin5x，再将纵坐标放大3倍得到函数y/3=sin5x，再 得到 y=3sin5x。

注意：平移变换和缩放变换都只对x和y进行变换。

例如：从y=sinx得到y=5sin(2x 4)。

方法一：先平移再缩放

先向左平移4个单位，然后横坐标变成原来的1/2，最后纵坐标拉长到5 原来的倍。

方法二：先缩放再平移

先横坐标变成原来的1/2，再向左平移2个单位（只做x变换，不做2x） ，最后纵轴拉伸到原来的5倍。