三角函数是六种基本初等函数之一。 它以角度（数学中最常用的圆弧系，下同）作为自变量，角度对应任意角度的端边和单位圆交点坐标或其比值是因变量的函数。 也可以用与单位圆有关的各种线段的长度等价地定义。 三角函数在研究三角形、圆形等几何形状的性质方面起着重要作用，也是研究周期现象的基本数学工具。 在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦、余弦和正切。 在航海、测绘、工程学等其他学科中，还使用余切函数、正割函数、余割函数、正向量函数、余向量函数、半正弦函数、半余弦函数等其他函数。 三角函数。 不同三角函数之间的关系可以通过几何直觉或计算得到，称为三角恒等式。
三角函数一般用于计算三角形中未知长度和未知角度的边，广泛应用于航海、工程和物理学。 此外，使用三角函数作为模板，可以定义一类类似的函数，称为双曲函数。 常见的双曲函数又称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等。 三角函数（也称为圆函数）是角度的函数； 它们在研究三角形和建模周期性现象以及许多其他应用中很重要。 三角函数通常定义为包含该角的直角三角形各边的比值，或者等价地定义为单位圆上各条线段的长度。 更现代的定义将它们表示为无限级数或某些微分方程的解，允许它们扩展到任意正值和负值，甚至是复值。
阿拉伯历史
进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。 随着欧洲商业的蓬勃发展，三角学在航海、历法测定和地理测绘方面的需求出现了。 在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细、更精确的三角函数值表。 哥白尼的学生 George Joachim Retix 制作了一个间隔为 10 秒（10″）的正弦表，其中有 9 个准确值。 Retix也改变了正弦的定义，原来叫弧对应弦的长度就是正弦，Retix把角度对应的弦叫正弦。 16世纪以后，数学家开始将古希腊球面三角学的结果和定理转化为平面三角学定理。 François We He 给出了与托勒密的许多结果相对应的平面三角形。 他还尝试计算多个角度的正弦表达式。
从18世纪开始，随着解析几何等分析工具的引入，数学家开始对三角函数进行解析研究。 牛顿在1669年的《分析》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。柯林斯告诉James G. Legoli，他进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。 莱布尼茨也在1673年前后独立获得了这个结果。欧拉的《Introductio in Analysin Infinitorum》，1748）对三角函数的分析和处理的建立做出了最重要的贡献。 他将三角函数定义为无限级数，表达了欧拉公式，并使用了现代缩写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.、cosec.。
弦表的发明
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按照理解，弦表的制作要从一系列不同的角开始，做出一系列的直角三角形，然后测量AC、A’C’、A”C”之间的距离 … 然而，制作第一张弦表的希腊作家喜帕恰斯（约公元前180~125年）却不是这样 他用同一个固定圆来计算给定度数的弧AB对应的弦AB的长度（ 如图 3 所示）。 也就是说，Hipak 靠的是计算而不是工具，这是他的过人之处。 Hippak 的原作早已失传。 我们所知道的希帕克在三角学方面的成就，是从公元二世纪的希腊著名天文学家托勒密那里得到的。 得自其遗作《天文集》。 托勒密虽然说他的成就来自希帕克，但实际上很多都是他自己创造的。
根据托勒密的书，为了测量弧和弦的长度，他们采用了巴比伦的底 -60 方法。 把圆周分成360等份，把它的半径分成60等份，然后把它分成60等份，在圆周和半径的每一等份中，每一小份再分成60等份，这样就得到了 托勒密称第一小部分和第二小部分。 很久以后，罗马人分别将它们命名为“partes minutae primae”和“partes minutae secundae”；后来，这两个名称演变为“minute”和“second”，成为测量上的两个“分”和“秒”
在确定了半径和周长的测量单位后，希帕帕克和托勒密首先着手计算一些特殊弧对应的弦长。例如，弦 60°圆弧的长度（圆周的1/6）正好是内接正六边形的边长，等于半径，所以60°圆弧对应的弦值为60个半径单位（半径1/ 长度的60为一个单位）；用同样的方法，可以计算出120°圆弧、90°圆弧和72°圆弧对应的弦值（如图4所示）。用弦值 对应于这些弧，所谓的“托勒密定理”用于计算“和”和“的弦长 已知弦长的两条弧的差值”，并根据弧对弦的长度，计算弧对半的弦长。 它基于这样的几何计算。 他们终于创建了世界上第一个字符串表。
传入中国
三角学传入中国始于明朝崇祯四年（1631年）。 这一年，邓玉涵、汤若望、徐光启合编《大考》，作为历书的一部分上呈朝廷，是我国第一部编纂的三角学。 “正半弦”，简称“正弦”，成为“正弦”一词的由来。
三角函数是数学中初等函数中属于超越函数的函数，其本质是 任何一组角度和一组变量比率之间的映射。通常的三角函数定义在平面笛卡尔坐标系中。它的域是实数的整个域。另一个定义是在直角三角形中，但不完全是。现代的 数学将它们描述为无限级数的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数的公式看似多而复杂，但只要你掌握了 追溯三角函数的本质和内在规律，你会发现三角函数的公式之间有着很强的联系。 掌握三角函数的内在规律和本质也是学好三角函数的关键。
