你对反函数的第一印象可能是自变量和因变量互换，函数和反函数关于y=x对称。 但是人们往往忽略了一些问题，比如，什么函数有反函数？ 三角函数和反三角函数之间有什么关系？ 考研中如何利用反函数属性？

因为反函数不是考研的重点，反函数的意义和性质往往被大家所忽视。 这对于想拿高分的同学来说可不是什么好事。

什么函数有反函数？

函数有反函数吗？

不对，反函数存在的充分必要条件是x和y存在一一对应关系。 也就是说，当x取某一特定值时，对应的y值只有一个； 当y取某一特定值时，对应的x值只有一个。 如下图，当x为1时，y只能取12，当y为12时，x只能取1，这是一一对应的。

事实上，与离散函数或分段不连续函数相比，我们更容易接触到连续函数。

连续函数反函数存在的充要条件是函数在定义域内严格单调。 我们可以通过下图来理解连续函数反函数存在的充要条件。

图(A)中函数f(x)先增后减，不是严格单调的，所以不存在反函数。 从图中可以明显看出，对于一些y值，x有两种可能取值，也就是说图（A）中的x和y并不是一一对应的，自然 没有反函数。

图(B)中的函数f(x)是严格单调递增的，所以有反函数。 从图像中也可以清楚地看到，对于每个y值，x只有一个值； 类似地，对于x的每个值，y只有一个值，因此图（B）中有一个反函数。

图(C)中的函数是减函数，但不是严格减函数，所以不存在反函数。

连续函数反函数存在的充分必要条件的本质是从函数反函数存在的充分必要条件推导出来的。 反函数存在的充要条件可以和图记忆连续函数结合起来。

三角函数与反三角函数的关系

反三角函数，简单的说就是三角函数的反函数。 但实际上，更具体更准确的说法是反三角函数是定义在单调区间内的三角函数的反函数。 这说明考虑三角函数的反三角函数必须在三角函数的单调区间内进行。

下面以正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数为例进行说明。

如前所述，连续函数反函数存在的充要条件是该函数在定义域内严格单调。 从三角函数的图形来看，没有一个函数在定义域内是严格单调的，但是如果每个三角函数都缩减到一定的区间，三角函数在这个区间内是严格单调的，那么在这个区间内我们可以定义反三角函数 职能。

正弦函数sinx在区间[-П/2,П/2]内有一个反函数，记为反正弦函数arcsinx。

余弦函数cosx在区间[0, П]有一个反函数，记为反余弦函数arccosx。

正切函数tanx在区间[-П/2,П/2]内有反函数，记为反正切函数arctanx。

余切函数cotx在区间[0,П]内有一个反函数，记为反余切函数arccotx。

通过上图对比可以发现，函数的定义域是其反函数的定义域，函数的定义域是其反函数的定义域。 一定要牢记上面定义的反三角函数关系表，三角函数在哪个区间，对以后做题很有帮助。

3. 反函数重要考点

在考研中，我们需要注意反函数的两个公式和一个性质。

这两个公式分别是反函数的一阶导数和二阶导数公式。 导数公式的内容和推导过程如下。

反函数的另一个性质也很重要但经常被忽视。

反函数的本质表明，算法f和反函数算法φ不断地作用于自变量x，得到的结果就是它自己。

你可以仔细品味这个属性是怎么来的。 那么看看下面的问题，你会做吗？