1。 直角三角形中的锐角三角函数

初中数学第一次接触三角函数，就是表达直角三角形的边长关系。

在图中的直角三角形

角度α的范围是0°~90°，即弧度0~π/2。 上述三角函数可以看作是一个自变量取值范围为(0, π/2) 的函数。

2. 任意角度的三角函数

锐角三角函数的局限性太明显了。 与上一篇《角度扩展：任意角与弧度角》中角度的取值范围扩展类似，三角函数的自变量取值范围也可以相应扩展到整组实数。

现在让我们重新定义三角函数来扩大角度的范围。 以原点A为圆心作一个半径为r的圆，圆上任意一点B的坐标为(x,y)，半径AB所成的角α(实数集上的任意角 ) 与x轴，则定义

在上面的定义中，正弦函数和余弦函数对于任意实数角度都有函数值。 正切函数要求x不能为0，其自变量的取值范围应为

3。 单位圆中的三角函数

上面的定义涉及到圆的半径r。 由于r可以取任意正实数值，为了简化三角函数的定义，我们设r=1。

即在圆心为原点的单位圆内，任意角度的三角函数定义简化为

正切函数的角度仍然不能是奇数倍 π/2。

这样，我们将三角函数的定义域扩展到实数域。 根据任意角的定义，单位圆上的任意一点对应无穷多个角，它们的差为2π的整数倍。 另一种理解是，相差2π的角对应的正弦、余弦、正切值相同。 正弦函数和余弦函数是实数范围内周期为2π的周期函数，而正切函数实际上是周期为π的周期函数。