欧洲文艺复兴之后，科学也迎来了大发展的时代，出于实际需要，天文、航海等领域的研究如火如荼。 但十六世纪以后，科学家们常常为处理数据时进行的复数计算而烦恼。 为此，许多数学家都在寻找更先进的可以减少计算量的数字处理方法，对数的概念应运而生。 用今天的眼光来看，对数的发明无疑是数学计算史上一个革命性的里程碑。

对数的概念起源于德国数学家Stifel，他在1544年出版的《整数算术》一书中详细讨论了几何级数1 , r, r^2, r^ 3… 项和它们的指数的关系，比如我们今天熟悉的两个数相乘得到的数的指数就是原来两个指数的和，更进一步，他还扩展了这个运算法则 对于指数是负数和分数的情况。 现在初中生对这样的规律已经很熟悉了，但在施蒂菲尔的时代，这样的问题还是很模糊，当时还没有“指数”这个概念。 但遗憾的是，由于时代观念陈旧，施蒂菲尔并没有提出类似对数的概念，遗憾地错过了这一伟大的数学发现和名扬千古的机会。

苏格兰数学家纳皮尔以发明或发现对数而著称。 约翰·纳皮尔（John Napier，1550~1617）原为苏格兰贵族。 他对天文学特别是相关计算很感兴趣，擅长将天文问题转化为球面三角学。 没有资料显示纳皮尔提出对数概念的具体过程，但这显然与他长期研究天文计算有关。 1594年前后，纳皮尔得到对数概念的雏形，于是写信告诉著名天文学家第谷·布拉赫（1546~1601，现代天文学创始人，开普勒的老师）。

经过长时间的思考，纳皮尔的对数概念逐渐清晰起来。 和当时的传统做法一样，纳皮尔需要书籍来详细解释他的想法。 为此，他完成了两本书作者：论对数的奇迹 (1614) 和研究对数的奇迹 (1619)。 Napier的出发点与之前的Stiefel完全不同。 他借助物理学中的线性运动和连续几何变量引入了对数。

纳皮尔的思路大致如下：

假设粒子P沿有限直线AZ运动，另一个粒子Q沿无限长直线A’Z’运动。 两个粒子开始运动时的初速度相同，Q的速度不变，P的速度变化如下：其路径上任一点B的速度正比于到B点的距离 指向终点，即|BZ| ，将比例因子设置为1。如果当点P在B时Q点在B’，则|A’B’| 称为 |BZ| 的对数。

但值得注意的是，在纳皮尔的时代还没有微积分理论，因此无法对运动，尤其是速度给出准确的数学描述，所以以今天的眼光来看纳皮尔的定义不够严谨，而事实上， 他的描述比上面的要复杂得多。 为了让上面的描述看起来更简单，我们只需要使用极少量的微积分语言如下：

令AZ=a,BZ =y，A ‘B’=x，所以 AB=a-y。

运动时间用t表示，所以P点在B处的速度可以表示为d(a-y)/dt。

然后通过问题设置条件，有d(a-y)/dt=y。

那么从初始条件：y=a at t=0。

最后求解上述常微分方程：x=a(lna-lny)。

根据定义，x 是 y 的对数。

在一个没有指数和微积分概念的时代，纳皮尔能够突破传统的束缚，给出对数的定义，确实是一个很大的贡献。 不仅如此，纳皮尔还将他的发明命名为“对数”，意思是“按比例产生的数字”，这个名字沿用至今。 对数的发明还产生了数学史上的奇观，即较复杂的对数比简单明了的指数更早被定义。 直到1728年，大数学家欧拉才第一次明确指出对数与指数之间的倒数关系。 他还首先提出了我们今天常用的自然对数的概念。 此时，距离对数的发明已经一百多年了。 我们今天使用的对数表示法最早是由意大利著名数学家、微积分学先驱博纳文图拉·弗朗切斯科·卡瓦列里（Bonaventura Francesco Cavalieri，1598-1647）提出的。

然而，纳皮尔并不是唯一发明对数的人。 前面我们介绍了 Stiefel 的发现，可惜他错过了发明对数的机会，但在他之后又有人按照他的方式“发明”了对数，这就是 Bilch。 约斯特·布尔吉（Joost Burgi，1552~1632）原是瑞士的一名钟表匠。 和纳皮尔一样，布尔吉对天文学也很感兴趣，积累了相当多的知识。 后来，他在布拉格担任著名的制表师。 天文学家开普勒的助手。 1600 年，完全不了解纳皮尔工作的伯奇利用施蒂费尔关于“指数”对应的思想重新定义了对数的概念。 但他的成果直到20年后才正式发表，比纳皮尔晚了一点，在诸多因素的影响下，纳皮尔成为了数学史上发明对数的“正宗”。

纳皮尔为了简化球面三角的计算而发明了对数，所以实际上他给出了三角函数值的对数，但这样的定义无形中增加了对数计算的难度。 1615年，当时的数学家和天文学家布里格斯（Henry Briggs，1561~1631）向纳皮尔提出建设性建议。 用今天的话来说，一个数的对数定义为这个数以 10 为底的指数，这使得对数的计算变得容易多了。 此后，一大批数学家采用各种方法，计算出许多庞大而详尽的对数表。 例如，1624年布里格斯出版了《对数算术》，公布了以1~20000和90000~100000为底数的14位常用对数表。

在没有计算器的时代，这样的对数表对于数学家、天文学家和航海家来说，无疑就像是一个“救星”。 关于对数的重要性，最著名的评论无疑是伽利略的名言：给我空间、时间和对数，我可以创造整个宇宙！ 著名的拉普拉斯也说过：对数的发明大大延长了天文学家的寿命。

直到最近几十年，对数表才退出历史舞台，让位于先进的计算机。