友情提示：本文有点长，将近3000字，分上下两篇。 这是第二部分。
三、三角函数定义的展开，归纳公式
以上三角函数的定义是针对锐角的。 事实上，这个定义可以推广到任何角度。
任意角度设为β，锐角设为α，则β角度总是会变换成以下形式之一：
β=2kπ±α, β=3π/2±α, β=π±α, β=π/2±α
其中k为A点旋转的圈数。A点可以逆时针或顺时针旋转，所以k可正可负，有k= 0, ±1, ±2,… , 即 k∈Z。
1. 负角(β=-α)的三角函数，如图7所示。
图7
从图7可以看出，半径OA在x上的投影x x轴与x重合，y轴上的投影y为负。 大小等于 y。 然后就是归纳公式(1)
2，β=2kπα的三角函数，如图8所示，是k=2的情况。
图8
无论A点在圆周上绕O点转多少圈，只要终端边OA在同一位置，三角函数值 这些角度保持不变。 即归纳公式(2)
sin(2kπα)=sinα
cos(2kπα)=cosα
tan(2kπα)= tanα
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cot (2kπ α)= cotα
3. β=π α的三角函数，如图9所示。
图9
从图9可以看出，半径OA在x上的投影x和y 和 y 轴都是负数，但它们的大小与半径 OA 的投影相同。 则有归纳式(3)
sin(π α)＝-sinα
cos(π α)＝-cosα
tan(π α )＝tanα
cot(π α)=cotα
4. β=π/2 α的三角函数，如图10所示。
图10
从图10可以看出，半径OA在 x轴为负，其大小等于y； OA 在 y 轴上的投影 y 素数是一个与 x 大小相等的正值。 则有归纳公式(4)
sin(π/2 α)=cosα
cos(π/2 α)=-sinα
tan (π /2 α)=-cotα
cot(π/2 α)=-tanα
5. 以上四组归纳公式就是三角函数的基本公式。 图形掌握。
对于剩下的β=2kπ-α, β=3π/2±α, β =π-α, β=π/2-α的三角函数可以由以上四组得到 归纳公式，无需死记硬背。
(1)归纳公式(5)：β=2kπ-α三角函数
角度2kπ-α可以看做2kπ(-α ), 结合式(2)和(1)可知
sin(2kπ-α)=sin(2kπ (-α))=sin(-α)=-sinα
sin(2kπ-α)=sin(2kπ(-α))=sin(-α)=-sinα
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其他功能比葫芦画画好
cos(2kπ-α)=cosα
tan(2kπ-α)=-tanα
cot(2kπ-α)=-cotα
(2) 导出公式(6)：三角函数β=π-α。
根据β=2kπ-α的方法，归纳公式（3）和 很快 。
sin(π-α) = sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)＝-cotα
(3)归纳公式(7)：β=π/2-α三角函数
根据β=2kπ-α的方法，类推推导式（4）。
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)= cotα
cot(π/2-α)=tanα
(4)归纳公式(8)：β=3π/2±α三角函数
β=3π/2±α被视为β=π (π/2±α)，可以把π/2±α看成锐角，可以套用归纳公式(3)，再用对应的归纳 公式(4)和(7)
sin(3π/2 α)=-cosα
cos(3π/2 α)=sinα
tan( 3π /2 α)=-cotα
cot(3π/2 α)=-tanα
sin(3π/2-α) =-cosα
cos (3π/2-α) =-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
从上面的讨论可以看出，在归纳公式中，α角不一定是锐角，可以是任意角。
4. 利用平面直角坐标系可以直观判断三角函数的正负<
1。 三角函数的正负
(1) 在平面笛卡尔坐标系的第一象限中，参见图11，OA的投影x和y均为正。
图11
因此，根据定义，sinα、cosα、tanα、cotα的值都是正的。
(1) 在平面笛卡尔坐标系的第二象限，参见图12，OA的投影x为负，y为正。
图12
所以sinα为正，cosα、tanα、cotα均为负。
(1) 在平面笛卡尔坐标系的第三象限，参见图13，OA的投影x和y均为负值。
图13
所以sinα和cosα为负值，tanα和cotα为正值。
(1) 在平面直角坐标系第四象限，参见图14，OA的投影x为正，y为负。
图14
所以cosα为正，sinα、tanα、cotα均为负。
三角函数正负值的规律总结如下（图15）：
正弦函数sinα在第一象限和第二象限为正，而 第三和第四象限为负；
余弦函数sinα 第一和第四象限为正，第二和第三象限为负；
正切和余切函数tanα，cotα 第一和第三象限为正，第二和第四象限为负。
图15
以上内容中公式较多，如有错误请指正。
