这篇文章分享了一道三角函数的好题，并给出了分析和解答。 本文适合高中学历的读者阅读。

最近遇到一道难度稍大的竞赛题。 方法巧妙，需要一定的解题技巧。 值得反复练习。 问题表述如下：

这道题看似简单的评价题，其实涉及的技巧还是蛮多的。 有兴趣的读者可以先尝试一下，再看下面的解析与解答过程。

这道题需要一定的三角函数和代数知识。 经过观察，不难发现，这道题的最大难点在于三角函数取值的立方根的处理，导致和-差-积 和 integrated-sum-difference 再次工作。 为了很好地处理立方根，我们很自然地想到了一些有用的立方公式，其中最有价值的就是下面这个众所周知的恒等式：

上面的恒等式很好地将一些对称多项式联系在一起。 再考虑一下，平方根号以内的三角函数值之间有关系吗？ 是否可以找到上述恒等式中出现的立方和、平方和、乘积等对称多项式的值？ 这时候我立马想到了魏达定理，也就是说，如果可以构造一个多项式，使得根号处的三个三角函数值是多项式在 同时，还有一些相关的对称多项式的取值，这就是解决这个问题的总体思路。

考虑以下等式：

这个方程有以下6个复根：

从根之间的关系不难看出，

也就是这些的取值 三个三角函数可以写成x 1 /x的形式，我们设y = x 1/x，即：

将上式两边同时除以x³，代入上式 y得到：

这个方程的三个根就是：

到目前为止，我们已经用多项式把我们需要的三个三角函数值联系在一起了。 但是题目要求我们求它们的立方根之和，所以我们考虑以下两个恒等式：

第二个恒等式可以通过替换第一个恒等式得到。 根据 Veda 定理，我们让 X³、Y³、Z³ 是方程 y³ y² – 2y – 1 = 0 的三个根 可以得到

这样，上面两个恒等式的左边就确定了，但是我们还需要X Y Z 和 XY YZ ZX，我们让 u = X Y Z，v = XY YZ ZX，代入恒等式：

我们 把两个方程左边相乘，右边乘以右边，得m = uv：

这个方程唯一的实根是：

然后我们可以找到u:

然后我们终于可以找到这个问题的答案了：

评论

这个问题的答案巧妙的利用了关系 多项式的身份和根，将看似复杂的代数表达式转化为相对简单的代数表达式。 答题过程看似繁琐，但其实掌握思路是合理的，适合反复练习。