今天我们讨论一个很有意思的问题

找到满足f′(x)=f(-1)(x)的函数f(x)。

这里f'(x)表示函数f(x)的导函数；

f(-1)(x)表示函数f(x)的反函数。

也就是说求一个函数，满足这个函数的导函数等于这个函数的反函数。

微分函数大家都很熟悉了，这里就不多解释了。 有兴趣的朋友可以去我的主页浏览。

让我们解释一下什么是反函数。

原函数y=f(x)用x表示y；

反过来，用y表示x得到另一个新函数x=g(y)；

按照习惯，我们将这个新函数的x和y互换，表示为y=g(x)；

我们称函数y=g(x) 是原函数y=f(x)的反函数；

记为y=f(-1)(x)=g(x)

回到这个 问题，f′(x)=f(-1)(x)，这个微分方程看起来很有意思，但是f(x)求解起来并不容易。

这是一个非常抽象的方程式。 我们不知道f(x)的形式，只能从已有的函数形式来猜测和分析。

我们不妨将 f(x) 的范围缩小到初等函数。 如果 f(x) 真的是一个非初等函数，我们就无能为力了。

接下来我们分析一下f(x)可能的函数形式。

初等函数有五类，分别是幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

首先排除三角函数，因为三角函数的导数仍然是三角函数，不能等于反三角函数；

其次排除反三角函数，因为对的导数 反三角函数类似于幂函数，反三角函数的反函数是三角函数，两者不能相等；

再次排除指数函数，因为指数函数的导数 类似于指数函数，指数函数的反函数是对数函数，两者还是不可能相等；

最后排除对数函数，因为对数的导数 函数类似于反比例函数，而对数函数的反函数是指数函数，两者仍然不可能相等。

这样排除之后，就只剩下一种可能了，那就是幂函数。

对于幂函数y=x^a

求导函数y’=ax^(a-1)

求逆函数y(-1 )=x ^(1/a)

两者还是幂函数，至少形式上统一了，所以可能是相等的。

好了，现在我们有了一个大概的方向，我们假设

y=f(x)=ax^b (a>0, b>0)

y′=f′(x)=abx^(b-1)

y=ax^b，x^b=y/a

x=(y /a )^(1/b)

y(-1)=f(-1)(x)=(x/a)^(1/b)

f ‘( x)=f(-1)(x)

abx^(b-1)=(x/a)^(1/b)

abx^(b -1 )=[x^(1/b)]/[a^(1/b)]

ab[a^(1/b)]=[x^(1/b)] /[ x^(b-1)]

[a^(1 1/b)]b=x^(1/b-b 1)

由于方程 左边是常数，所以等式右边也是常数。

1/b-b 1=0

1-b^2 b=0

b^2-b-1=0

b=(1±√5)/2

因为b>0

b=(1 √5)/2

[a^(1 1/b)]b=x^(1/b-b 1)=x^0=1

[a^(1 1/b)]b=1

注意

1/b-b 1=0

1 1/b=b

[a^(1 1/b)]b=(a^b) b =1

a^b=1/b=b^(-1)

a=[b^(-1)]^(1/b)=b^ ( -1/b)

a=b^(-1/b)

最后我们找到了这个函数：

y= f(x )=ax^b=[b^(-1/b)](x^b)

b=(1 √5)/2

当然， 上述解只是该方程的一个特解，求解方法不严谨。 我们通过猜测和假设f(x)解析式的形式来推导它，而不是直接找到解析式。

为了严格求出这个方程的通解，需要用到非常复杂的高等数学知识，这里就不详细解释了。