本文作者：刘瑞祥，【遇见数学】感谢刘老师的关注与支持！

幂函数的妙处在于“幂”字。 据说最早的意思是一块布覆盖在一个平面上，大概类似于桌布，所以下面有一块“毛巾”，后来引申为面积，所谓“若势势为 相同，产品不能不同”（祖氏原理），最后成为产品结果的名词。

幂函数有多种形象，指数一般限于有理数m/n。 图像包括以下十种类型，具有不同的域、取值范围、对称性、增减性和不均匀性。 你能根据图像判断m和n的关系吗：

五个基本初等函数中，指数函数和对数函数互为反函数，三角函数和反三角函数分别为 互为反函数，只有幂函数的反函数（如果存在的话）仍然是幂函数，甚至还有两个反函数不变的特殊幂函数，多么神奇？

接下来我们要说的是，在现实世界中，往往可以知道一个量与另一个量的若干次方成正比，但不知道具体的指数应该是多少。 这时候就需要对数了：根据对数来标记变量，那么就可以把图像变成一条直线，从直线的斜率计算出指数，再看直线在直线上的截距 坐标轴得到比例常数。

在物理课上学习维度时，我们知道对于五个基本初等函数中的四个——指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数——变量必须是“零量”例如，x in y= e^x 不能有单位，只能是纯数。 当然，公式可能是y=e^(at)的形式，其中t的维度是[time]，那么a的维度是[time]^-1。 但幂函数​​不会受此限制，自变量可以自由地具有时间、长度、质量甚至它们的组合等各种维度。

说起幂函数的神奇，就离不开泰勒展开。 这个公式可以将不同形式的各种函数表示为一系列幂级数之和，真是不可思议。 而且我们会发现，如果只取幂级数的前几项，那么复杂的问题就会化为很简单的情况。 范德瓦尔斯气体方程如此，相对论的动能公式也是如此。

同样，在几何光学中，由于折射公式涉及到三角函数，我们不得不采取所谓的“近轴近似”，即代入（接近0时）。 即便如此，推导公式也够麻烦的。

▼ 《几何光学》，王天素，北京教育出版社，1989年版

想想如果要进一步研究，必须把正弦函数展开到三阶或更高阶 ，而且计算起来就更复杂了，真是头大。

除此之外，在使用“分部积分法”进行不定积分时，幂函数仍然是一个“居中”函数，也就是著名的“指向三幂反对”令 . 这个顺序的意思是，如果被积函数是两种不同类型函数的乘积，应该按这个顺序变换（为了简单起见，以下均以y=x表示为幂函数）：

▲ 先把指数函数放在d后面

▲ 先把三角函数放在d后面

▲ 先把幂函数放在d后面

▲ 先把幂函数放在d后面 d 后面的函数