“算术-几何平均数”既不是算术平均数也不是几何平均数。 它最早是由有“数学王子”之称的德国数学家高斯发现和研究的。 算术几何平均数，当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有着很深的关系。 我们知道，任何数学概念或定理，无论多么简单，只要和高斯有关就一定不简单。 耐心点，让我们看看高斯对算术几何平均数的研究。

对于两个正实数a和b（假设0<a≤b），(a b)/2称为a和b的算术平均数，√ab称为a的几何平均数 和 b。

我们有基本不等式，

当且仅当 a=b 时等号成立。

证明并不难：

从数的角度

从形状上看

一目了然。

正文

算术平均数和几何平均数的概念很简单。 大部分人都实现了基本不平等这一步，可以说是完美的成就。 如果继续研究的话，无外乎两个方向：

第一，从二数到三四甚至任意n个正数的提升：

第二，研究其他 均值的类型，如立方均值、平方均值、调和均值（倒数均值）以及它们之间的大小关系，得到一个更高级的基本不等式：

即“立方均值≥平方均值≥算术 平均值≥几何平均值≥调和平均值”。

上述不等式还可以推广到任意n个正数。

大多数数学家都走到了这一步，可以说是功德圆满了。

高斯，却找到了另外一条路。

平均，平均，既然叫“平均”，自然介于两者之间，最大最小缓和。 完整的基本不等式应该是：

从a和b，得到(a b)/2和√ab，显然

距离小于原来的一半。

设a1=√ab，b1=(a b)/2，然后计算它们的算术平均数和几何平均数，

同理，它们之间的距离因为

这个过程可以无限进行下去，即

那么序列{an}单调递增有上界，序列{bn}单调递减有下界，当n趋于 infinity ,

那么序列{an}和{bn}收敛到同一个极限。

高斯将这个极限称为 a 和 b 的算术几何平均数。 表示为 AGM(a,b)。

高斯当时只研究算术几何平均数。 但是按照他的思路，我们当然也可以发明“算术-平方平均数”、“算术-调和平均数”、“平方-调和平均数”等概念。 上述迭代过程中只需要对an和bn取不同的an-1和bn-1的平均值即可。

这些平均值的值很容易计算。 可以编译一个程序，迭代几次得到一个精度比较高的结果，收敛也很快。

例如1和2，小编用MATLAB编程，算术几何平均数约等于1.456791031046907，算术平方平均数约等于1.540836469462489，平方和 均值约等于 1.45458688740267。 如果有兴趣，可以尝试计算其他组合的平均值。 在计算的过程中，小编发现了一个很有意思的结论。 限于篇幅，暂时不一一列举。

本来两个数的平均值，不管是算术平均还是几何平均，都很简单，计算简单，结果也简单。 对于1和2，它们的算术平均值为1.5，几何平均值为√2，平方平均值为√(5/2)，调和平均值为4/3。 然而，就这么简单的1和2，它们的算术几何平均数看起来好“难看”！ 1.456791031046907…..好像是个超越数吧！ ！ ！ 它在哪里神圣？

高斯不仅仅满足于数值运算。 很快，他找到了算术几何平均数AGM(a,b)的解析表达式：

圆周率π，三角函数，微积分……等等，算术几何平均数怎么可能和 这些概念？ ？ ？

那一年，高斯22岁。

跟进

研究这些平均值有什么用？

对我们来说，它可以作为一个数学游戏，可以启发思考。 也许，它可以应用到我们还不知道的领域。

但是高斯，他对算术几何平均数的研究绝不是一场临时游戏。

作为“能够站在云层的高度，从某个角度把握星空和深奥数学的天才”，高斯发现算术几何平均数与椭圆积分有很深的联系 .

比如双扣线，很多人都不陌生。 双扣线是一个移动的点轨迹，其到平面上两个固定点的距离的乘积是一个常数（类似于椭圆）。 像一个无限符号。 方程式如下：

学过高等数学的人应该知道，双颈线的面积是2a^2。 但是让我们看看这里双颈线的周长。

为简单起见，上图中取a=1，其极坐标方程为

根据对称性，其周长

为 由高斯计算 有了AGM(a,b)的公式，我们可以很容易的得到双颈线的周长

在高斯的记忆中，叫做

高斯常数 .

双颈线周长的计算其实就是椭圆积分，椭圆积分的求逆就是椭圆函数。 椭圆函数可以说是19世纪复变函数理论最辉煌、最壮观的成就，没有之一。

人类历史上研究的第一个椭圆函数是双颈线周长的积分反演。 研究它的是高斯。

椭圆函数在数论中的应用，发展了模函数、模曲线、自守形式等理论。 上世纪末，怀尔斯证明了费马大定理，其中使用的基本工具之一就是椭圆函数。

思考题

高斯22岁发现的定理

有人对证明感兴趣吗？ 证明只用到高等数学的基础知识，没有任何知识盲点。 有兴趣的可以私信或留言告诉我，分享你的思考和证明过程。 看情况，我会在下一篇贴出来。