函数公式网 三角函数 形象直观的讲解:复数三角函数原理

形象直观的讲解:复数三角函数原理

复数的引入大大简化了三角函数的计算。 例如傅里叶变换和拉普拉斯变换由于复数的引入而被广泛应用,尤其是欧拉公式的出现,使得很多计算变得简单

如下公式x(t) =Ae^j(Ωt Ф)是在欧拉公式的基础上引入的,这是一个描述旋转运动的公式,与正余弦函数有关,这个公式可以分解为实部的余弦和 复数平面上虚部的正弦,如下图所示

为了更好的说明这一点,我们将实部余弦和虚部正弦分别对应公式x(t)=Ae^j(Ωt Ф),如下图

如果表示为动态旋转的圆周运动,则y坐标表示Asin(2πf Ф),x坐标表示Acos(2πf Ф)

因为e^(jωn)表示一个有方向的向量,jωn表示逆时针旋转,-jωn表示顺时针旋转,根据简单的向量运算,我们可以得到e^(jωn)和e^( -jωn ) 表示下的正余弦函数。 下图很清楚地说明了这一点

现在我们用动态示意图来更形象地说明三角函数的复数原理

假设Z=e^(0 3.1412i)t,那么这是一个半径为1的螺旋。这里,模型用一个虚平面来表示:Y代表实轴,Z代表虚轴, X代表时间t,如下图

螺旋线在XZ平面上的投影是一个正弦函数图

在XY平面上的投影是一个余弦函数图

在YZ平面上的投影是一个单位圆

下图更直观的表达了上面的观点,

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