高斯在他的博士论文中证明了以下命题，并将其升级为定理：一个具有复系数的n次代数方程g(x)=0，其中n为正整数：

有 至少一个复杂的解决方案。 （这里我们把实数看做虚部为零的复数）

人们把高斯的上述结论称为代数基本定理。

上述定理在欧拉在世时并未得到证明，但欧拉直接将其应用到无穷级数的研究中。

应用上述定理可以证明下列命题：

多项式g(x)：

它可以精确分解为n个一阶因子的乘积：

其中b1,b2…bn都是g(x)=0的根。

我们可以应用高斯论文中的结论来证明这个命题！

证明

让我们考虑下面的多项式：

我们发现当这个多项式乘以一个因子 x-a 时，我们有：

p>这样，我们得到一个一般性的结论：

根据上面的公式，我们可以知道：

我们观察一个如图所示的多项式g(x) 下图：

由Gaussian论文中的结论可知，g(x)=0必有复根，记为b，观察如下推导，得 我们之前探索过的分解形式：

因为g(b)=0我们知道：g(x)-g(b)=g(x)，我们可以提出一个因子x-b得到如下关系 :

我们有h(x)也对g(x)进行运算，我们可以继续这样运算，不断提取因子，把g(x)写成如下：

此时我们不知道这些b1,b2…bn是不是g(x)=0的所有根，我们假设不是这样，还有一个根c，我们得到下面的复积 形式，因为c是g(x)的根，所以g(c)=0：

如果几个复数的乘积为零，则至少有一个复数一定为零，所以我们 知道 c 是 b1, b2…bn 之一，所以我们证明 b1, b2 …bn 都是 g(x)=0 的根。

于是我们根据高斯博士论文的结论证明了多项式g(x)可以精确分解为n个线性因子的乘积。