我们从小学习数学运算的顺序是这样的：
①先学习加法运算，然后学习加法运算的逆运算——减法运算；
a b=c, c-b=a;
②其次学习乘法运算，再学习乘法运算的逆运算——除法运算；
a×b=c,c÷b=a;
③再学习幂运算，再学习幂运算的逆运算——平方 root操作；
a^n=b, (n)√(b)=a;
③最后学习指数运算，然后学习指数运算的逆运算——对数运算。
a^n=b，log(a,b)=n。
值得注意的是，从逻辑上看，显然应该先有指数，后有对数。 然而，实际的历史发展恰恰相反。 对数确实比指数出现得更早，这已经成为数学史上的一个花絮。 今天我们将学习对数。
对于指数运算：a^b=N; a称为基，a>0且a≠1； N称为幂次，N>0； b 称为指数。
相当于对数运算：log(a,N)=b; a称为基数； N称为实数； b 称为对数。
a^b=N↔log(a,N)=b
a＞0且a≠1，N＞0。
例如：2^3=8↔log(2,8)=3
根据对数的定义，很容易得出如下结论：
log (a,a)=1, log(a,1)=0, log(a,a^2)=2
log(a,1/a)=-1 , log(a, √a)=1/2
另外还有如下两个定义：
①以10为底的对数称为常用对数，表示 如：log(10, N)=lg(N)
②以自然常数e为底的对数称为自然对数，表示为：log(e,N)=ln(N)
接下来我们回顾一下对数的基本运算规则：
①log(a,M×N)=log(a,M) log(a,N)
②log(a ,M/N)=log(a,M)-log(a,N)
证明：log(a,M)=x，log(a,N)=y
p>M=a^x，N=a^y
M×N=(a^x)×(a^y)=a^(x·y)
M/ N=(a^x)/(a^y)=a^(x-y)
log(a,M×N)=x y=log(a,M) log (a,N)
log(a,M/N)=x-y=log(a,M)-log(a,N)，证明完成！
③推导：log(a,M1×M2×…×Mn)
=log(a,M1) log(a,M2) … log(a,Mn)
④log(a,M^n)=n×log(a,M)
证明：
log(a,M^n)=log( a ,M×M×…×M)
【n M】
=log(a,M) log(a,M) … log(a,M )
[n log(a,M)]
=n×log(a,M)，证明完成！
⑤log(a^b,M)=(1/b)×log(a,M)
证明：log(a^b,M)=x
M=(a^b)^x=a^(b×x)
b×x=log(a,M)
log(a^b ,M)=x=(1/b)×log(a,M)
证明完毕！
⑥log(a^b,M^n)=(n/b)×log(a,M)
证明：log(a^b,M^n)
=n×log(a^b,M)
=n×[(1/b)×log(a,M)]
=( n/b)×log(a,M)，证明完成！
⑦log(a,a^n)=n
⑧log(a^n,a)=1/n
证明：
p>log(a,a^n)=n×log(a,a)=n×1=n
log(a^n,a)=(1/n)×log (a ,a)=(1/n)×1=1/n
证明完毕！
这里先介绍一下基本公式，然后讨论今天的话题：对数恒等式和变底公式。
我们先证明对数恒等式。
对数恒等式：a^[log(a,N)]=N
证明：log(a,N)=x, a^x=N
a^x=a^[log(a,N)]=N，证明完成！
对数恒等式
对数恒等式a^[log(a,N)]=N有一个非常重要的应用。 利用这个恒等式，任何正数x都可以表示为 指数和对数组合的形式，对数的底a可以是任何不等于1的正数。
x=a^ [log(a,x)]=2^[log(2,x)]
=10^[lg(x)]=e^[ln(x)]
特别是利用x=e^[ln(x)]的变换，很容易得到一些复杂函数的推导，比如求幂函数f(x)=x^x。
f(x)=x^x={e^[ln(x)]}^x=e^[x×ln(x)]
具体推导过程 ，我们下节课再讲。
接下来我们来证明变底公式。
底变公式：
log(a,N)=log(m,N)/log(m,a)
证明：log (a ,N)=x，a^x=N
log(m,N)=log(m,a^x)=x×log(m,a)
log (a,N)=x=log(m,N)/log(m,a)
证明完成！
换底公式
换底公式最大的特点就是可以把对数的底数换成任意底数。
log(a,b)=log(2,b)/log(2,a)
=lg(b)/lg(a)=ln(b)/ ln(a)
利用变底公式
log(a,b)=lg(b)/lg(a)，我们可以进一步推出：
①log(a,b)×log(b,c)=log(a,c)
证明：log(a,b)×log(b,c)
=[lg(b)/lg(a)]×[lg(c)/lg(b)]
=lg(c)/lg(a)=log(a,c) ，证明完毕！
②log(a,b)×log(b,a)=1
证明：log(a,b)×log(b,a)
=log(a,a)=1，证明完成！
在计算器没有普及之前，人们都是用变底公式来计算对数值的。 我们先做了一个常用对数表，然后我们可以把任意对数换成常用对数，查表就可以计算出对数值。
例如：log(2,3)=lg(3)/lg(2)
≈0.4771/0.3010≈1.585
常用对数表
另外，利用对数表，我们还可以快速比较两个指数的大小。
例如：比较2^300和3^200的大小
lg(2^300)=300×lg(2)≈300×0.3010=90.3
p>lg(3^200)=200×lg(3)≈200×0.4771=95.42
lg(2^300)<lg(3^200), 2^300< 3^200
好了，今天就到这里吧，大家下来后可以自己证明上面的公式，加深理解。
