大家好！ 本文与大家分享一道1964年高考数学真题。 1964年，高考数学试卷只有8道题。 题目确实少，但是8道题都是回答题。 本文与大家分享的这道题，就是当年试卷中的第五道题。 这是一道关于三次方程的题，对于现在的很多同学来说可以说是一道难点。

三次方程已经从现在的初中课本中删除了。 即使偶尔遇到三次方程的问题，通常也可以直接通过因式​​分解来求解。 所以现在大部分同学看到这道题都有一种无从下手的感觉。 事实上，要解决这个问题，必须利用三次方程的根和系数之间的关系。

我们知道二次方程的根和系数之间存在关系。 事实上，三次方程也有根和系数的关系。

设α,β,γ为方程ax^3 bx^2 cx d=0(a≠0)的三个根，则α β γ=-b/a, αβ βγ γα=c/a，αβγ=-d/a。 这是一个变量的三次方程的根和系数之间的关系。

回到题中，根据题意，由于原方程有两个相等的正实数根，所以可以将原方程的三个根分别设为a、b、b，其中b>0 ，所以根据根与系数的关系及题意可得：a b b=-m, ab ab b^2=-3, a b b=-n, a^2 b^2 b^2=6, 即a 2b=-m①, 2ab b^2=-3②, ab^2=-n③, a^2 2b^2=6④。

这是一个多元方程组，所以接下来需要消去元素。

由①得到a=-m-2b，代入②和④，完成后得到3b^2 2mb-3=0和6b^2 4mb m^2-6=0。 将上式乘以2得6b^2 4mb-6=0，故有m^2-6=-6，解为m=0。 则3b^2-3=0，解为b=±1，且b>0，故b=1，则a=-2b=-2。 最后将a和b的值代入③，得到n的值。

利用根与系数的关系得到方程组后，还有其他的处理方法。 ④-②×2，可以得到a^2-4ab=12。 将公式①两边平方得到a^2 4ab 4b^2=m^2，再将这两个公式相加得到2a^2 4b^2=12 m^2。 结合④，可以得到12=12 m^2，再求解m=0。 后来用第一种解法先求a和b的值，最后求n的值。

这个问题难住了很多同学。 主要原因是很多同学不知道单变量三次方程的根和系数之间的关系。 如果你知道根和系数的关系，并且列出方程，那么这道题就不会那么难了。 你学会了吗？