在19世纪，求解四次以上的一元方程的问题一直吸引着欧洲许多杰出的数学家投入其中，而这个问题也是当时数学的题目。 伟大的数学家笛卡尔曾自信地说“一切问题都可以转化为数学问题，数学问题可以转化为代数问题，代数问题可以转化为方程问题”。

出身贫寒的阿贝尔在奥斯陆大学期间立下了自己的研究目标——五个或更多一元方程的解。 不同的是，他走到了问题的反面，证明了这个问题的根本解是不存在的。

1824年，他成功证明了单变量四重方程无根解，但问题是在挪威没有人可以验证他的证明，这可能是天才的悲剧。 这个证明严格来说是不完备的（另一个天才伽罗瓦已经完整地证明了这个问题），但是这个证明引入了两个重要的概念：域和不可约多项式。

1825年，他在挪威政府的旅行奖学金资助下赴西欧留学。 出发前，他打印了多份《四次以上方程不可解性的证明》，但为了省钱，阿贝尔把论文压缩成了6页。 结果是没有人能理解他的证明。 据说哥廷根的高斯也拿到了证书，但他不相信一个世界性的难题能被一个来自偏远地区的无名小伙用短短六页纸解决。 他甚至没有打开这封信，直接把它放在一堆纸或一本书的中间。 后人在整理高斯的档案时发现了这封信。 这样的错误或许对高斯影响不大，但却给整个数学界和阿贝尔本人造成了深深的伤害。

这次西欧之行并非毫无结果。 在德国期间，著名数学家阿贝尔并没有遇到，却遇到了欣赏他的业余数学爱好者和出版商克莱尔。 克莱尔于1826年创办了数学期刊《纯粹与应用数学杂志》，第一卷发表了阿贝尔的7篇论文，前3卷发表了阿贝尔的22篇论文。

当时这个期刊名不见经传，没什么影响，但现在几乎是德国最著名的数学期刊，也是世界上著名的数学期刊。 没有这本日记，也许亚伯的作品就永远丢失了。 亚伯和这本杂志可以说是相互成就。

除了四次以上多项式的无解问题，阿贝尔在椭圆函数论、无穷级数、积分方程等领域也有许多杰出的著作。 大学期间，阿贝尔完成了一篇论文《用定积分求解两个问题》，成为现代放射学的数学基础。 1979年，在阿贝尔工作的帮助下，他完成了CT扫描仪的美国物理学。 科学家科马克和英国电气工程师豪斯霍尔德获得诺贝尔生理学或医学奖。

阿贝尔在西欧游学期间，完成了一篇关于超越数的论文，寄给了法国数学权威勒让德和柯西，但没有被理会。 后来，德国数学家雅各比称赞这篇论文“可能是本世纪最伟大的数学发现”。 多年以后，法国数学家赫尔米特仍然说“剩下的剩菜足够数学家们忙活500年”。 1830年，法国科学院同时授予阿贝尔和雅可比数学大奖，但后者已经过世。