如何证明散度定理和高斯定理？ 泊松公式是怎么推导出来的？ 7月1日中午12点，《张朝阳的物理课》第67期播出。 搜狐创始人兼董事长兼CEO张朝阳坐在搜狐视频直播间，首先简单介绍了向量微积分中的一些基本概念，包括标量场、向量场，以及一些重要的微分算子， 等等，然后用简单的几何方法证明散度定理。 随后，他以引力为例做矢量微分计算，求出引力势的梯度得到引力场强，并证明了高斯定理，最后结合散度定理推导出泊松公式。

直播开始，张朝阳首先介绍了向量微积分中的基本概念。 给每个空间点分配一定的数量，就可以构成一定的场。 如果每个空间点上的量只能用一个数来描述，那么这个场就称为标量场； 如果每个空间点上的量不是一个数而是一个向量，那么这个场就称为向量场。 他首先介绍了一些基本的微分算子，其中最重要的是▽算子。 在向量微积分运算中，▽算子兼有微分和向量运算的性质，可以简化运算，推导过程简明易懂。 ▽算子作用于标量场时，得到的结果称为标量场的梯度。 ▽算子与向量场的点乘运算称为向量场的散度。 ▽算子也可以自相乘得到拉普拉斯算子。

随后，张朝阳开始讨论散度定理。 对于封闭曲面，为曲面上的面积元定义一个向量，方向为法线方向，大小为面积元面积。 将某一矢量场与该区域微元对应的矢量点乘后，求出整个闭曲面的积分，得到矢量场在整个闭曲面上的通量。 发散定理说这个通量等于向量场在封闭曲面中发散度的体积分数。 张朝阳用简单的几何知识证明了这个定理。 首先把矢量写成分量的形式，而通量可以写成三个分量的积分之和，然后只考虑z分量。 选择一个平行于z轴的小长方体，它在闭曲面上截取两个面元，它在xy平面上截取的面元就是面元在xy平面上的投影。 但由于被小长方体截取的两个表面积单元的法线方向的z分量相反，所以相差一个负号，所以它们的差可以写成z积分的形式，而面 积分成为表面体积积分的内部。 同理，其他成分也可以用同样的方法处理，得到相似的结果。 最后，将三个分量的方程结合起来就成为散度定理。

继续讨论引力，张朝阳先给出引力势，求解它的梯度得到一个新的矢量场，即引力场的强度。 粒子的质量乘以引力场的强度，就可以得到作用在粒子上的引力。 对于多个粒子产生的引力势和引力场，可以直接利用叠加原理求得。 如果质量以连续分布存在，只需将总和更改为积分符号即可。 现在选择一个封闭曲面计算该曲面上的重力场强度矢量的通量，交换曲面积分和质量积分的顺序，将曲面面积元在面积元和曲面的连线上的投影 质量微元就是面积元 立体角乘以面积元到质量微元的距离的平方，距离的平方可以用重力场强度公式中的距离的平方抵消，所以 封闭曲面的积分可以简化为立体角的积分。

由于曲面外的质量微元的立体角截取了封闭曲面上的两个面微元，两者的法线在立体角方向的分量方向相反，所以做的时候刚好抵消 积分。 因此，只有闭曲面中的体积元有贡献，最终积分得出高斯定理，即闭曲面上的引力场强度的通量与闭曲面所含的总质量成正比。 将散度定理应用于引力场，结合高斯定理，得到引力场强度散度与质量密度的关系，进而根据引力场强度与引力势的关系，可得 可知拉普拉斯算子作用于引力势等于质量密度，即泊松公式。

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《张朝阳的物理课》直播风格独树一帜：主打硬核推导，通过一步步细致的数学计算，推导出相关的物理公式，每一个公式从头拆解得非常清楚 结束。

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来源：中国青年网